人工衛星と静止衛星

円軌道の人工衛星では万有引力が向心力の役割をし、軌道半径が大きいほど速さが小さく周期が長いこと、静止衛星は赤道上空を地球の自転と同じ向き・同じ周期（約 1 日）で回ることを判定できる

前提

万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

地球のまわりを円軌道で回る人工衛星について、速さや周期が軌道半径によってどう変わるかを、万有引力と向心力の関係から判定できるようになります。また、地上から見ると空の一点に止まって見える「静止衛星」が、どこを・どの向きに・どんな周期で回っているかを正しく選べるようになります。気象衛星や放送衛星などの説明文の正誤を問う問題で使います。

なぜそうしてよいのか

地球（質量 $M$ ）の中心から距離 $r$ の円軌道を、質量 $m$ の人工衛星が速さ $v$ で等速円運動しているとします。衛星にはたらく力は地球からの万有引力 $G \frac{M m}{r ^{2}}$ だけで、これが地球の中心を向いているので、そのまま向心力の役割をします。向心力という別の力が加わるわけではありません。円運動の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ です。両辺の $m$ が消えるので $v = \frac{GM}{r}$ となります。つまり速さは衛星の質量によらず、軌道半径 $r$ が大きいほど小さくなります。

周期 $T$ は円周を速さで割ったものなので、 $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ です。 $r$ が大きいほど、まわる道のりが長いうえに速さも小さいので、周期は長くなります（ $T^{2}$ は $r^{3}$ に比例します）。地表すれすれ（ $r ≒ R$ 、 $GM = g R^{2}$ ）なら $v = g R ≒ 7.9 km/s$ 、周期は約 85 分です。

静止衛星は、地上から見ていつも同じ位置に見える衛星です。万有引力は地球の中心を向くので、円軌道の中心は必ず地球の中心になります。一方、地上の一点は自転によって地軸のまわりを回ります。その円の中心が地球の中心と一致するのは、赤道上の点だけです。そのため、静止衛星は赤道の真上を、自転と同じ向き（西から東）に、自転と同じ周期（約 1 日）で回ります。周期が決まると上の式から $r$ もただ 1 つに決まり、高度は約 $3.6 \times 1 0^{4} km$ （地球半径の約 5.6 倍）になります。

手順

衛星にはたらく力を確認する。はたらくのは地球からの万有引力だけで、これが向心力の役割をしている（別の「向心力」は加えない）。
運動方程式を立てる： $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ 。ここで $r$ は地球の中心からの距離（地表からの高さ $h$ なら $r = R + h$ ）。
速さを判定する： $v = \frac{GM}{r}$ 。衛星の質量によらず、 $r$ が大きいほど速さは小さい。
周期を判定する： $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ 。 $r$ が大きいほど周期は長い。
静止衛星かどうかを判定する。条件は、赤道上空を回ること、自転と同じ向き（西から東）であること、自転と同じ周期（約 1 日）であることの 3 つ。このとき高度は約 $3.6 \times 1 0^{4} km$ の 1 通りに決まる。

例題

地球のまわりを円軌道で回る人工衛星について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　軌道半径が大きい人工衛星ほど、速さが大きい。
イ　静止衛星は、北極の真上の上空にとどまるように回っている。
ウ　静止衛星は、赤道上空を、地球の自転と同じ向きに、自転と同じ周期で回っている。
エ　円軌道を回る人工衛星には、地球からの万有引力のほかに、向心力という別の力がはたらいている。

例題の解答

手順 1（力の確認）：衛星にはたらくのは万有引力だけで、それが向心力の役割をしています。向心力という別の力はないので、エは誤りです。
手順 2・3（運動方程式と速さ）： $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ から $v = \frac{GM}{r}$ です。軌道半径 $r$ が大きいほど速さは小さいので、アは誤りです。
手順 5（静止衛星の判定）：万有引力は地球の中心を向くので、軌道の中心は地球の中心です。地上の一点と同じように回り続けられるのは赤道の真上だけで、向きも周期も自転と同じでなければなりません。北極の真上には「とどまる」円軌道がないので、イは誤りです。ウはこの 3 つの条件をすべて満たしているので正しい文です。
したがって、答えはウです。

答え:

ウ

よくある誤り

$v = r ω$ を使って「半径が大きい衛星ほど速い」としてしまう誤り。 $v = r ω$ は $ω$ が同じときの比較にしか使えない。正しくは、万有引力が向心力の役割をするので $v = \frac{GM}{r}$ となり、半径が大きいほど遅い（ $ω$ も小さく、周期も長い）。
質量の大きい衛星ほど速さや周期が変わるとしてしまう誤り。正しくは、 $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ の両辺で $m$ が消えるので、 $v$ も $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ も衛星の質量によらない。
静止衛星は日本の真上など好きな場所に止められるとしてしまう誤り。正しくは、円軌道の中心は地球の中心でなければならないので、静止衛星は赤道上空にしか置けず、高度も約 $3.6 \times 1 0^{4} km$ に決まる。
軌道半径 $r$ に地表からの高さ $h$ をそのまま入れてしまう誤り。正しくは $r$ は地球の中心からの距離で、 $r = R + h$ （ $R$ は地球の半径）とし、たとえば $v = \frac{GM}{R + h}$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球のまわりを等速円運動している 2 つの人工衛星 A, B がある。衛星 A は地表から高さ約 $400 km$ の円軌道を回っており、衛星 B は静止衛星である。衛星 B の軌道半径は衛星 A の軌道半径より大きい。どちらの衛星にも、はたらく力は地球からの万有引力だけであるとする。衛星 A, B について述べた文として最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　衛星 B の速さは、衛星 A の速さより大きい。
- イ　衛星 B が地球のまわりを 1 周する周期は、衛星 A の周期より短い。
- ウ　衛星 B は、赤道の上空を、地球の自転と同じ向きに、自転と同じ周期で回っている。
- エ　衛星 A には、地球からの万有引力のほかに、円の中心向きの向心力という別の力がはたらいている。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

第一宇宙速度と第二宇宙速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）