円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理円運動・単振動・万有引力（知識）

木星のまわりを、2 つの衛星 X と Y がそれぞれ楕円軌道を描いて公転している。X の軌道の長半径（半長軸）は、Y の軌道の長半径より小さい。各衛星にはたらく力は木星からの万有引力だけとし、木星は静止しているものとする。また、衛星の質量は木星の質量に比べて十分小さいものとする。

この 2 つの衛星の運動と万有引力について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

ア　軌道の長半径が小さい X の公転周期は、Y の公転周期より長い。
イ　公転周期の 2 乗を軌道の長半径の 3 乗で割った値は、X と Y で等しい。
ウ　X の速さは、X が木星に最も近づいたときに最も小さくなる。
エ　木星が X に及ぼす万有引力の大きさは、X が木星に及ぼす万有引力の大きさより大きい。
オ　木星と X の間にはたらく万有引力の大きさは、木星と X の距離に反比例する。

この問題で使うもの

ケプラーの 3 法則（説明と入口の問題）
万有引力の法則（説明と入口の問題）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ケプラーの第二法則・第三法則と万有引力の法則の内容を、衛星の運動にあてはめて考えよう。

ヒント 2

第二法則は面積速度一定、第三法則は $T^{2} \propto a^{3}$ 、万有引力は $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ である。また、2 物体が及ぼし合う万有引力は作用・反作用の関係にある。

ヒント 3

アは第三法則、ウは第二法則、エは作用・反作用、オは万有引力の式と比べると誤りがわかる。残る選択肢を第三法則で確かめよう。

答えと解説

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イ

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解説を読む

ケプラーの法則は、太陽のまわりの惑星だけでなく、同じ天体のまわりを万有引力だけを受けて公転する衛星にもあてはまる。

ア　誤り。ケプラーの第三法則より、公転周期 $T$ の 2 乗は長半径 $a$ の 3 乗に比例する（ $T^{2} = k a^{3}$ ）。長半径が小さい X のほうが公転周期は短い。
イ　正しい。ケプラーの第三法則より、同じ中心天体（木星）のまわりを公転する天体どうしでは $\frac{T ^{2}}{a ^{3}}$ が共通の値になる。この値は中心天体の質量で決まり、衛星によらない。
ウ　誤り。ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）より、木星と X を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は一定である。木星に近い点では線分が短いので、同じ面積を通過するには速く動かなければならない。したがって、木星に最も近づいたとき速さは最も大きくなる。
エ　誤り。木星が X に及ぼす万有引力と、X が木星に及ぼす万有引力は作用・反作用の関係にあり、大きさは等しく向きは反対である。
オ　誤り。万有引力の法則より、質量 $M$ , $m$ の 2 物体が距離 $r$ 離れているとき、万有引力の大きさは $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ であり、距離の 2 乗に反比例する。

よって、正しいものはイである。

別解

ケプラーの第 3 法則: $T^{2} / a^{3}$ は同じ中心天体のまわりを公転する天体で共通の値。
ア: $a$ が小さい X の周期は短い。誤り。
イ: $T^{2} / a^{3}$ は X と Y で等しい（衛星の質量が木星に比べ十分小さいので）。正しい。
ウ: ケプラーの第 2 法則（面積速度一定）より、木星に最も近づいたとき（近日点に対応する近木点）に速さは最大。誤り。
エ: 作用・反作用の法則により、両者の間の万有引力の大きさは等しい。誤り。
オ: 万有引力の大きさは距離の 2 乗に反比例する。誤り。

よってイ。

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