ケプラーの 3 法則

惑星は太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描くこと（第 1 法則）、面積速度が一定で近日点ほど速いこと（第 2 法則）、 $T^{2}$ が半長軸の 3 乗に比例し比例定数がどの惑星でも同じこと（第 3 法則）を正しく述べた文を選べる

前提

楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）

説明

ケプラーの 3 法則は、惑星が太陽のまわりを回るときの軌道の形、軌道上での速さの変わり方、軌道の大きさと公転周期の関係をまとめた 3 つの規則です。第 1 法則は軌道の形、第 2 法則は面積速度、第 3 法則は周期と半長軸の関係を述べています。惑星の運動について書かれた文が正しいかどうかを判断する問題では、3 つの法則を正確に言えることが決め手になります。

なぜそうしてよいのか

ケプラーは、ティコ・ブラーエが長年記録した惑星の観測データを調べて、これらの法則を見つけました。3 法則は理論から導いたものではなく、観測から見つけた規則(経験法則)です。第 1 法則は「惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描く」というものです。楕円は、2 つの焦点からの距離の和が一定値 $2 a$ である点の軌跡でした( $a$ は半長軸、つまり長軸の長さの半分)。太陽があるのは楕円の中心ではなく、焦点の 1 つです。中心から焦点までの距離を $c = a^{2} - b^{2}$ とすると、太陽にいちばん近い点(近日点)までの距離は $a - c$ 、いちばん遠い点(遠日点)までの距離は $a + c$ です。この 2 つを足して 2 で割ると $a$ になるので、半長軸は近日点距離と遠日点距離の平均です。円は $c = 0$ の特別な楕円です。

第 2 法則は「太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に通過する面積(面積速度)は一定である」というものです。惑星が太陽から距離 $r$ の位置を速さ $v$ で動いていて、速度の向きと太陽・惑星を結ぶ線分のなす角が $θ$ のとき、ごく短い時間 $Δ t$ に線分が通過する部分は、2 辺が $r$ と $v Δ t$ でその間の角が $θ$ の細い三角形とみなせます。その面積は $\frac{1}{2} r v Δ t sin θ$ なので、面積速度は $\frac{1}{2} r v sin θ$ で、これが軌道上のどこでも同じ値になります。近日点と遠日点では速度が線分に垂直( $θ = 9 0^{\circ}$ 、 $sin θ = 1$ )なので、 $r_{近} v_{近} = r_{遠} v_{遠}$ が成り立ちます。 $r_{近} < r_{遠}$ だから $v_{近} > v_{遠}$ で、惑星は近日点で最も速く、遠日点で最も遅く動きます(近日点付近では速く、遠日点付近では遅い)。ただし、面積速度が一定になるのは 1 つの惑星の軌道の上での話で、別の惑星どうしでは面積速度の値は違います。

第 3 法則は「公転周期 $T$ の 2 乗は、軌道の半長軸 $a$ の 3 乗に比例する」というもので、式では $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k$ と書けます。この比例定数 $k$ は、太陽のまわりを回る惑星ならどれでも同じ値です。そのため、軌道の半長軸が大きい惑星ほど公転周期が長くなります。

手順

文が軌道の形について述べているか(第 1 法則)、速さや面積について述べているか(第 2 法則)、周期と軌道の大きさの関係について述べているか(第 3 法則)を見分ける。
第 1 法則の文なら、軌道が楕円であることと、太陽が楕円の「中心」ではなく「焦点の 1 つ」にあることを確かめる。
第 2 法則の文なら、一定なのが「速さ」ではなく「面積速度」( $\frac{1}{2} r v sin θ$ )であることを確かめる。近日点と遠日点では $r_{近} v_{近} = r_{遠} v_{遠}$ なので、速さは近日点で最大、遠日点で最小になる。
第 3 法則の文なら、関係が $T^{2} \propto a^{3}$ ( $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k$ )であること、 $a$ が半長軸であること、 $k$ が太陽のまわりのどの惑星でも同じであることを確かめる。
選択肢を 1 つずつこの基準で判定し、正しいものを選ぶ。

例題

太陽のまわりを回る惑星の運動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア惑星は、太陽を中心とする楕円軌道を描く。
イ惑星の速さは、軌道上のどの位置でも一定である。
ウ惑星の公転周期の 2 乗は軌道の半長軸の 3 乗に比例し、その比例定数は太陽のまわりを回るどの惑星でも同じである。
エ惑星の速さは、遠日点で最も大きくなる。

例題の解答

手順 1: 各文を分類する。アは軌道の形の話なので第 1 法則、イとエは速さの話なので第 2 法則、ウは周期と軌道の大きさの話なので第 3 法則にあたる。
手順 2: アを判定する。太陽があるのは楕円の焦点の 1 つであり、中心ではない。よってアは誤り。
手順 3: イとエを判定する。一定なのは面積速度 $\frac{1}{2} r v sin θ$ であり、速さではない。よってイは誤り。また、近日点と遠日点では $r_{近} v_{近} = r_{遠} v_{遠}$ で $r_{近} < r_{遠}$ だから $v_{近} > v_{遠}$ となり、速さは近日点で最大、遠日点で最小である。遠日点で最も大きいとするエは逆なので誤り。
手順 4: ウを判定する。 $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k$ であり、 $k$ は太陽のまわりのどの惑星でも同じである。これは第 3 法則そのものなので、ウは正しい。
手順 5: 以上より、正しいものはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

太陽が楕円軌道の中心にあるとしてしまう誤り。正しくは、太陽は楕円の焦点の 1 つにある。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の軌道なら、太陽の位置は $(a^{2} - b^{2}, 0)$ または $(- a^{2} - b^{2}, 0)$ で、原点ではない。
第 2 法則を「惑星の速さが一定」と覚えてしまう誤り。正しくは、一定なのは面積速度 $\frac{1}{2} r v sin θ$ である。近日点と遠日点では $r_{近} v_{近} = r_{遠} v_{遠}$ が成り立ち、速さは近日点で最大、遠日点で最小になる。
第 3 法則を $T \propto a^{3}$ や $T^{2} \propto a^{2}$ と覚えてしまう誤り。正しくは $T^{2} \propto a^{3}$ 、つまり $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k$ で、 $k$ は太陽のまわりのどの惑星でも同じ値である。したがって半長軸 $a$ が大きい惑星ほど周期 $T$ は長い。
面積速度がどの惑星でも同じ値だと考えてしまう誤り。正しくは、面積速度が一定なのは 1 つの惑星の軌道の上だけで、惑星ごとに値は異なる。どの惑星でも共通なのは第 3 法則の比例定数 $k = \frac{T ^{2}}{a ^{3}}$ のほうである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
太陽のまわりを公転する惑星の運動について述べた次の文ア〜オのうち、ケプラーの法則の内容として正しいものをすべて選べ。ただし、太陽は静止しているものとし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとする（ほかの惑星からの影響は無視する）。また、「半長軸」は楕円軌道の長軸の長さの半分を表す。
- ア　惑星は、太陽を楕円の中心とする楕円軌道を描いて運動する。
- イ　1 つの惑星について、太陽に最も近い点（近日点）での速さは、太陽から最も遠い点（遠日点）での速さより小さい。
- ウ　1 つの惑星について、太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は、軌道上のどこでも同じである。
- エ　惑星の公転周期は、軌道の半長軸の 2 乗に比例する。
- オ　公転周期の 2 乗を軌道の半長軸の 3 乗で割った値は、太陽のまわりを回るどの惑星でも同じである。

この技能を使う問題

	（a）	（b）
ア	大きい	2 乗
イ	大きい	3 乗
ウ	小さい	2 乗
エ	小さい	3 乗

この技能の次に学べること

ケプラーの第 3 法則の計算（高校物理円運動・単振動・万有引力）
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）