円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力（知識）

太陽のまわりを楕円軌道で公転する惑星について述べた次の文中の空欄（a）・（b）に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エから 1 つ選べ。

「1 つの惑星について見ると、惑星と太陽を結ぶ線分が同じ時間に通過する面積は、軌道上のどこでも等しい。このため、太陽に最も近い点（近日点）での惑星の速さは、太陽から最も遠い点（遠日点）での速さよりも（ a ）。また、太陽のまわりを回る惑星の公転周期の 2 乗は、その惑星の楕円軌道の半長軸（長半径）の（ b ）に比例し、その比例定数はどの惑星でも同じである。」

	（a）	（b）
ア	大きい	2 乗
イ	大きい	3 乗
ウ	小さい	2 乗
エ	小さい	3 乗

この問題で使うもの

ケプラーの 3 法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

文の前半はケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）、後半は第三法則（調和の法則）の内容である。

ヒント 2

空欄（a）は、通過する面積を細い三角形とみなし、その面積が太陽からの距離と速さでどう決まるかを考える。空欄（b）は、第三法則が公転周期と半長軸のどんな関係を述べているかを思い出す。

ヒント 3

空欄（a）で選択肢を 2 つに絞り、残りを第三法則の指数で決める。円軌道の場合に $m \frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM m}{r ^{2}}$ と $T = \frac{2 π r}{v}$ から $T$ と $r$ の関係を導くと確かめられる。

答えと解説

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イ

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解説を読む

空欄（a）について: ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）より、1 つの惑星について、太陽と惑星を結ぶ線分が同じ時間に通過する面積は等しい。近日点・遠日点では速度が太陽からの向きに垂直なので、太陽からの距離を $r$ 、速さを $v$ とすると、単位時間に通過する面積は $\frac{1}{2} r v$ と表せる。これが一定なので、太陽からの距離が短い近日点では速さが大きい。

空欄（b）について: ケプラーの第三法則より、惑星の公転周期を $T$ 、楕円軌道の半長軸を $r$ とすると
$T^{2} = k r^{3} (k はすべての惑星に共通な定数)$
が成り立つ。公転周期の 2 乗は半長軸の 3 乗に比例する。

よって、空欄（a）は「大きい」、空欄（b）は「3 乗」で、正しい組み合わせはイである。

ほかの選択肢:
- ア：空欄（b）が誤り。「2 乗」ではなく 3 乗に比例する。
- ウ：空欄（a）・（b）ともに誤り。近日点での速さは遠日点より大きく、（b）は 3 乗である。
- エ：空欄（a）が誤り。面積速度一定より、太陽に近い近日点の方が速さは大きい。

なお、ケプラーの第一法則は「惑星は太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描く」というものである。

別解

面積速度一定の法則（ケプラーの第 2 法則）より、近日点では太陽までの距離が小さいので、同じ面積を掃くには速さが大きくなければならない。近日点・遠日点では速度が動径に垂直なので、面積速度 $\frac{1}{2} r v$ が等しいことから $r_{近} v_{近} = r_{遠} v_{遠}$ 、 $r_{近} < r_{遠}$ より $v_{近} > v_{遠}$ 。よって a は「大きい」。

ケプラーの第 3 法則は、公転周期 $T$ の 2 乗が半長軸 $a$ の 3 乗に比例する（ $T^{2} = k a^{3}$ ）というもの。よって b は「3 乗」。

各選択肢: ア（b が誤り）、イ（正しい）、ウ（a、b とも誤り）、エ（a が誤り）。正解はイ。

この問題の確認

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	a	b
ア	第一宇宙速度	$2$
イ	第二宇宙速度	$2$
ウ	第一宇宙速度	$2$
エ	第二宇宙速度	$2$