円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理円運動・単振動・万有引力（知識）

太陽のまわりを公転する惑星の運動と、万有引力について述べた文として誤っているものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとし、ほかの惑星からの影響は無視する。

ア　惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて運動する。
イ　惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は一定であるから、惑星は太陽から遠い位置にあるときほど速く運動する。
ウ　惑星の公転周期の 2 乗は、楕円軌道の半長軸（長半径）の 3 乗に比例し、その比例定数はどの惑星についても同じである。
エ　2 つの物体の間にはたらく万有引力の大きさは、それぞれの質量の積に比例し、物体間の距離の 2 乗に反比例する。

この問題で使うもの

ケプラーの 3 法則（説明と入口の問題）
万有引力の法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ケプラーの 3 つの法則と、万有引力の法則の内容をそれぞれ思い出し、選択肢と照らし合わせよう。

ヒント 2

第 2 法則（面積速度一定）では、近日点と遠日点について $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ が成り立つ。 $r$ と $v$ の大小関係を考えよう。

ヒント 3

第 1 法則・第 3 法則・万有引力の法則の内容を正しく述べている選択肢は除ける。残るのは、面積速度一定から導かれる速さの大小について述べた選択肢である。

答えと解説

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イ

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解説を読む

各選択肢を確かめます。

ア: 正しい。ケプラーの第 1 法則そのものです。
イ: 誤り。前半の「惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間に通過する面積（面積速度）は一定」はケプラーの第 2 法則で正しい内容です。面積速度が一定なので、太陽からの距離 $r$ が小さいところでは同じ面積を描くために速さ $v$ が大きくなり、 $r$ が大きいところでは $v$ が小さくなります（たとえば近日点と遠日点では $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ ）。したがって惑星は太陽に近い位置にあるときほど速く運動し、「遠い位置にあるときほど速く」が誤りです。
ウ: 正しい。ケプラーの第 3 法則 $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k$ （ $T$ : 公転周期、 $a$ : 半長軸）で、 $k$ はすべての惑星で共通です（ $k$ は太陽の質量で決まります）。
エ: 正しい。ニュートンの万有引力の法則 $F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$ の内容です。

よって答えはイです。

別解

ア: ケプラーの第1法則。正しい。
イ: 面積速度一定（第2法則）より、太陽から遠いほど速さは小さく、近いほど速い。「遠い位置にあるときほど速く」は誤り。
ウ: ケプラーの第3法則 $T^{2} / a^{3} =$ 一定で、比例定数は太陽のまわりを回るどの惑星でも同じ。正しい。
エ: 万有引力の法則 $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ の内容どおり。正しい。

誤っているものはイ。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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