同じ天体のまわりを回る 2 つの天体について が等しいことを使い、半長軸の比から公転周期（例: 半長軸 倍なら周期 倍）や、周期の比から半長軸を求められる
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ケプラーの第 3 法則を計算に使うと、同じ中心天体（たとえば太陽）のまわりを回る 2 つの天体について、半長軸の比から公転周期の比を求めたり、反対に周期の比から半長軸の比を求めたりできます。地球の公転周期 年と半長軸を基準にすれば、小惑星や彗星の周期を計算できます。同じ惑星のまわりを回る衛星どうしでも同じように使えます。
第 3 法則によると、同じ中心天体のまわりを回る天体の公転周期 と軌道の半長軸 の間には という関係があります。比例定数 は中心天体だけで決まり、どの天体についても同じ値です。そこで 2 つの天体 1, 2 について 、 と書き、辺々を割ると が消えます。 このため、 の値を知らなくても比だけで計算できます。
も も正の量なので、両辺を 乗すれば です。逆に 乗すれば が得られます。たとえば半長軸が 倍なら、周期は 倍です。軌道が大きいほど周期は長くなり、その伸び方は半長軸の伸び方より大きくなります。
手順 1: 2 つの天体が同じ中心天体のまわりを回っているか確かめる（中心天体が同じときだけ が共通）。
手順 2: それぞれの半長軸 を確認する。近日点距離 と遠日点距離 が与えられたときは で求める。
手順 3: 比の式 を立てる。
手順 4: 求めたい比について解く。周期を求めるなら 、半長軸を求めるなら を使う。
手順 5: 基準となる天体の値（例: 地球の周期 年）に比を掛けて答えを出す。
太陽のまわりを楕円軌道で公転する小惑星があり、その軌道の半長軸は地球の公転軌道の半長軸の 倍である。地球の公転周期を 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。この小惑星の公転周期は何年か求めよ。
手順 1: 小惑星も地球も太陽のまわりを回っているので、第 3 法則の比例定数は共通である。
手順 2: 小惑星の半長軸を 、地球の半長軸を とすると、 である。
手順 3: 小惑星の周期を 、地球の周期を 年とすると、 が成り立つ。
手順 4: 周期の比について解くと となる。
手順 5: 年。
答え:
周期が半長軸に比例すると考えて「半長軸 倍なら周期も 倍」としてしまう誤り。正しくは なので、周期は 倍になる。
指数を逆にして としてしまう誤り（ 倍となってしまう）。正しくは と が比例するので であり、半長軸を求めるときに 乗を使う。
中心天体が違う天体どうし（例: 地球のまわりを回る月と、太陽のまわりを回る火星）で比の式を立ててしまう誤り。正しくは の は中心天体ごとに異なるので、同じ中心天体を回る天体どうしでしか比べられない。
近日点距離や遠日点距離をそのまま に代入してしまう誤り。正しくは半長軸を使い、近日点距離 と遠日点距離 から を求めてから代入する。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
地球は太陽のまわりを公転している。地球の公転軌道を、太陽を中心とする半径 の円とみなし、地球の公転周期を 年とする。ある小惑星は、太陽を つの焦点とする楕円軌道を描いて公転しており、その楕円の半長軸は である。
地球と小惑星のどちらについても、ケプラーの第 法則（公転周期 の 乗は軌道の半長軸 の 乗に比例し、比例定数は太陽のまわりを回る天体で共通）が成り立つものとする。地球と小惑星のあいだにはたらく引力など、太陽以外の天体の影響は無視する。円軌道の半長軸はその円の半径に等しいとする。
この小惑星の公転周期は何年か。
地球は太陽のまわりを公転しており、その公転周期は 年、軌道の半長軸は である。ある小惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて太陽のまわりを公転しており、その軌道の半長軸は である。ケプラーの第 3 法則を用いて、この小惑星の公転周期は何年か求めよ。ただし、太陽以外の天体からの影響は無視できるものとする。
ある惑星 のまわりを、2 つの衛星 , が公転している。衛星 は を中心とする半径 の円軌道を、周期 で公転している。衛星 は を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 で公転している。2 つの衛星は からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 の楕円軌道の半長軸の長さを、 を用いて表せ。