円運動・単振動・万有引力の問題

地球は太陽のまわりを公転しており、その公転周期は $1$ 年、軌道の半長軸は $a_{\mathrm{E}}$ である。ある小惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて太陽のまわりを公転しており、その軌道の半長軸は $9a_{\mathrm{E}}$ である。ケプラーの第 3 法則を用いて、この小惑星の公転周期は何年か求めよ。ただし、太陽以外の天体からの影響は無視できるものとする。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道上を、質量 $m$ の人工衛星が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点（近地点）を $\mathrm{P}$、最も遠い点（遠地点）を $\mathrm{Q}$ とし、$\mathrm{OP}=r$、$\mathrm{OQ}=3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、衛星には地球からの万有引力だけがはたらくものとする。地球は静止しているとみなし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として $-G\frac{Mm}{(\text{Oからの距離})}$ で表されるものとする。近地点 $\mathrm{P}$ での衛星の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点）$\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点（遠地点）$\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

ある彗星が、太陽 $\mathrm{S}$ を 1 つの焦点とするだ円軌道をえがいて公転している。この軌道上で彗星が太陽にもっとも近づく点を $\mathrm{P}$、もっとも遠ざかる点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{P}$ の距離は $a$、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{Q}$ の距離は $3a$ である。

彗星が $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを $v$ とする。彗星が $\mathrm{Q}$ を通過するときの速さを、$v$ を用いて表せ。ただし、彗星は太陽からの万有引力だけを受けて運動するものとし、太陽は静止しているとみなす。

地球は太陽のまわりを公転している。地球の公転軌道を、太陽を中心とする半径 $a$ の円とみなし、地球の公転周期を $1$ 年とする。ある小惑星は、太陽を $1$ つの焦点とする楕円軌道を描いて公転しており、その楕円の半長軸は $9a$ である。

地球と小惑星のどちらについても、ケプラーの第 $3$ 法則（公転周期 $T$ の $2$ 乗は軌道の半長軸 $r$ の $3$ 乗に比例し、比例定数は太陽のまわりを回る天体で共通）が成り立つものとする。地球と小惑星のあいだにはたらく引力など、太陽以外の天体の影響は無視する。円軌道の半長軸はその円の半径に等しいとする。

この小惑星の公転周期は何年か。