円運動・単振動・万有引力の問題

地球は太陽のまわりを公転している。地球の公転軌道を、太陽を中心とする半径 $a$ の円とみなし、地球の公転周期を $1$ 年とする。ある小惑星は、太陽を $1$ つの焦点とする楕円軌道を描いて公転しており、その楕円の半長軸は $9a$ である。

地球と小惑星のどちらについても、ケプラーの第 $3$ 法則（公転周期 $T$ の $2$ 乗は軌道の半長軸 $r$ の $3$ 乗に比例し、比例定数は太陽のまわりを回る天体で共通）が成り立つものとする。地球と小惑星のあいだにはたらく引力など、太陽以外の天体の影響は無視する。円軌道の半長軸はその円の半径に等しいとする。

この小惑星の公転周期は何年か。

ある惑星 $\mathrm{P}$ のまわりを、2 つの衛星 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ が公転している。衛星 $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円軌道を、周期 $T$ で公転している。衛星 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 $8T$ で公転している。2 つの衛星は $\mathrm{P}$ からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 $\mathrm{B}$ の楕円軌道の半長軸の長さを、$r$ を用いて表せ。

太陽のまわりを公転するある小惑星の軌道はだ円で、その軌道の長半径（半長軸の長さ）は、地球の公転軌道の半径の $4.0$ 倍である。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径一定の円とみなし、地球の公転周期を $1.0$ 年とする。

この小惑星の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球と小惑星はどちらも太陽からの万有引力だけを受けて運動しているとし、ほかの天体の影響は考えなくてよい。

質量 $M$ の月の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の探査機が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点 $\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点 $\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 $\mathrm{Q}$ での探査機の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

ある彗星が、太陽 $\mathrm{S}$ を 1 つの焦点とするだ円軌道をえがいて公転している。この軌道上で彗星が太陽にもっとも近づく点を $\mathrm{P}$、もっとも遠ざかる点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{P}$ の距離は $a$、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{Q}$ の距離は $3a$ である。

彗星が $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを $v$ とする。彗星が $\mathrm{Q}$ を通過するときの速さを、$v$ を用いて表せ。ただし、彗星は太陽からの万有引力だけを受けて運動するものとし、太陽は静止しているとみなす。