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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

質量 $M$ の月の中心 $O$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の探査機が回っている。軌道上で $O$ に最も近い点 $P$ での $O$ からの距離は $r$ 、最も遠い点 $Q$ での $O$ からの距離は $3 r$ である。万有引力定数を $G$ とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 $Q$ での探査機の速さを、 $G$ , $M$ , $r$ を用いて表せ。

O

P

Q

r

3 r

月の中心 O を焦点とする探査機の楕円軌道

この問題で使うもの

楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

面積速度一定（ケプラーの第 2 法則）と、万有引力による位置エネルギーを含む力学的エネルギー保存の式を連立します。

ヒント 2

$P$ , $Q$ では速度が $O$ との線分に垂直なので、 $\frac{1}{2} r v_{P} = \frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{Q}$ 。エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{( 距離 )}$ が一定です。

ヒント 3

面積速度の式から $v_{P} = 3 v_{Q}$ 。これをエネルギー保存の式に代入すると $4 v_{Q}^{2} = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{3 r}$ になります。

答えと解説

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\frac{GM}{6 r}

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解説を読む

点 $P$ での速さを $v_{P}$ 、点 $Q$ での速さを $v_{Q}$ とする。

1. 面積速度一定の式

探査機にはたらく力は $O$ に向かう万有引力だけなので、ケプラーの第 2 法則（面積速度一定）が成り立つ。 $P$ , $Q$ は楕円の長軸の両端なので、そこでの速度は $O$ と結んだ線分に垂直である。よって
$\frac{1}{2} r v_{P} = \frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{Q}$
より
$v_{P} = 3 v_{Q} (1)$

2. 力学的エネルギー保存の式

万有引力は保存力であり、それ以外の力は仕事をしないので、探査機の力学的エネルギーは保存する。無限遠基準の位置エネルギー $- G \frac{M m}{r}$ を用いて
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - G \frac{M m}{r} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - G \frac{M m}{3 r} (2)$

3. 連立する

$(2)$ の両辺を $m$ で割り、 $(1)$ を代入すると
$\frac{9}{2} v_{Q}^{2} - \frac{GM}{r} = \frac{1}{2} v_{Q}^{2} - \frac{GM}{3 r}$
$4 v_{Q}^{2} = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{3 r} = \frac{2 GM}{3 r}$
$v_{Q}^{2} = \frac{GM}{6 r}$
$v_{Q} > 0$ より
$v_{Q} = \frac{GM}{6 r}$
（なお $v_{P} = 3 v_{Q} = \frac{3 GM}{2 r}$ であり、近い点ほど速いことが確かめられる。）

別解

点 P, Q での速さをそれぞれ $v_{P}$ , $v_{Q}$ とする。

(1) 面積速度一定の法則（角運動量保存）：P, Q は軌道の近日点・遠日点にあたり、速度は O を結ぶ線分に垂直である。よって $r v_{P} = 3 r v_{Q}$ 、すなわち $v_{P} = 3 v_{Q}$ 。

(2) 力学的エネルギー保存則：
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - \frac{GM m}{r} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - \frac{GM m}{3 r}$

$v_{P} = 3 v_{Q}$ を代入すると
$\frac{1}{2} \cdot 9 v_{Q}^{2} - \frac{1}{2} v_{Q}^{2} = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{3 r}$
$4 v_{Q}^{2} = \frac{2 GM}{3 r}$
$v_{Q}^{2} = \frac{GM}{6 r}$
$v_{Q} = \frac{GM}{6 r}$

検算： $v_{P}^{2} = 9 \cdot \frac{GM}{6 r} = \frac{3 GM}{2 r}$ 。左辺 $= \frac{3 GM}{4 r} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{4 r}$ 。右辺 $= \frac{GM}{12 r} - \frac{GM}{3 r} = - \frac{GM}{4 r}$ 。一致する。

また、長半径 $a = 2 r$ なので全エネルギーは $- \frac{GM m}{2 a} = - \frac{GM m}{4 r}$ で、これとも一致する。

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