等速円運動の速さ・角速度・周期

半径 $r$ の等速円運動について、 $v = r ω$ 、 $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π r}{v}$ 、加速度の大きさ $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ を使い、速さ・角速度・周期・回転数・向心加速度のうち未知のものを求められる

前提

弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

物体が半径 $r$ の円周上を一定の速さで回る運動（等速円運動）で、速さ $v$ ・角速度 $ω$ ・周期 $T$ ・回転数 $n$ ・向心加速度の大きさ $a$ のうち、わかっている量から残りの量を計算できるようになります。これらの量は $v = r ω$ 、 $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π r}{v}$ 、 $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ という関係で結ばれています。回転台や車輪、人工衛星、振り回したおもりなど、回る物体の運動を数量で調べるときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

角速度 $ω$ は「1 秒あたりに中心から見て回る角度」で、角度は弧度法（rad）で測ります。弧度法では、半径 $r$ の円で中心角 $θ$ に対する弧の長さは $r θ$ です。時間 $t$ の間に回る角度は $ω t$ なので、その間に進む道のりは $r ω t$ です。道のりを時間で割ると速さになるので $v = r ω$ が成り立ちます。

周期 $T$ は 1 周にかかる時間です。1 周は角度 $2 π$ rad、道のり $2 π r$ なので、「角度 $\div$ 角速度」でも「道のり $\div$ 速さ」でも同じ時間になり、 $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π r}{v}$ です。回転数 $n$ （1 秒あたりに回る回数、単位回/s）は 1 秒を 1 周の時間で割ったものなので $n = \frac{1}{T}$ 、したがって $ω = 2 π n$ です。

加速度は円の中心向きで、大きさは前提の技能で学んだ $a = r ω^{2}$ です。ここに $ω = \frac{v}{r}$ を代入すると $a = \frac{v ^{2}}{r}$ 、また $a = v ω$ とも書けます。どの量も $r$ と $ω$ （または $r$ と $v$ ）が決まれば決まるので、2 つわかれば残りはすべて求められます。

手順

与えられた量を書き出し、単位をそろえる（半径は m、時間は s、角度は rad。直径が与えられたら半分にして半径にする）
回転数 $n$ や周期 $T$ が与えられたら、 $T = \frac{1}{n}$ 、 $ω = 2 π n = \frac{2 π}{T}$ で周期や角速度に直す（「毎分○回転」なら 60 で割って回/s にする）
速さを求めるときは $v = r ω$ または $v = \frac{2 π r}{T}$ を使う。逆に $v$ から $ω$ や $T$ を求めるときは $ω = \frac{v}{r}$ 、 $T = \frac{2 π r}{v}$
向心加速度の大きさは $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ のうち、わかっている量で使いやすい式を選んで計算する
数値を代入して計算し、問題文で指定された有効数字の桁数に丸める

例題

半径 $0.40$ m の円周上を、小球が 1 秒間に $2.0$ 回の割合で等速円運動している。小球の速さは何 m/s か。円周率は $π = 3.14$ とし、有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順1: 半径 $r = 0.40$ m、回転数 $n = 2.0$ 回/s。単位はそろっている。
手順2: 周期は $T = \frac{1}{n} = \frac{1}{2.0} = 0.50$ s。
手順3: 1 周の道のり $2 π r$ を周期で割って速さを求める。
$v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 \times 3.14 \times 0.40}{0.50} = 5.024 m/s$
（ $ω = 2 π n = 12.56$ rad/s から $v = r ω = 0.40 \times 12.56 = 5.024$ m/s としても同じ。）
手順5: 有効数字 2 桁に丸めて $5.0$ m/s。

答え: $5.0$

よくある誤り

回転数と角速度を同じものとして $ω = n$ としてしまう誤り。1 回転は $2 π$ rad なので、正しくは $ω = 2 π n$ （例: $n = 2.0$ 回/s なら $ω = 4.0 π \approx 12.6$ rad/s）。
角度を度で測ったまま $v = r ω$ に使ってしまう誤り（例: 1 秒に 90° 回るから $v = 90 r$ ）。 $v = r ω$ は弧度法で弧の長さが $r θ$ になることから出た式なので、正しくは $ω = \frac{π}{2}$ rad/s として $v = \frac{π}{2} r$ 。
直径をそのまま半径として代入してしまう誤り（例: 直径 $0.80$ m の円で $v = 2 π \times 0.80/ T$ ）。正しくは半径 $r = 0.40$ m を使い $v = \frac{2 π \times 0.40}{T}$ 。
「毎分 $60$ 回転」を $n = 60$ 回/s として計算してしまう誤り。正しくは 60 で割って $n = 1.0$ 回/s、 $T = 1.0$ s、 $ω = 2 π$ rad/s。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
直流機の誘導起電力とトルク（大学物理電力・電気機器）
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2 原子分子の回転準位（大学物理原子・分子物理とレーザー）