直流機の誘導起電力とトルク

直流機の誘導起電力 $E = K Φ n$ 、トルク $T = K^{'} Φ I_{a}$ 、電機子回路の式 $V = E \pm R_{a} I_{a}$ と電力の関係 $E I_{a} = T ω$ （ $ω = \frac{2 π n}{60}$ ）を使って、発電機・電動機の電流・電圧・トルクを求められる

前提

磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）
電池の起電力と内部抵抗（高校物理電流と回路）
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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算数中学高校大学大学院

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磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）
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電池の起電力と内部抵抗（高校物理電流と回路）
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等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

直流機は、磁場の中で回転する巻線（電機子）と、回転につれて電流の向きを切り替えるブラシ・整流子からなる機械で、軸を回せば発電機、電流を流せば電動機として働きます。この技能では、電機子に生じる誘導起電力 $E = K Φ n$ 、電機子が受けるトルク $T = K^{'} Φ I_{a}$ 、電機子回路の式 $V = E \pm R_{a} I_{a}$ 、電力の関係 $E I_{a} = T ω$ を組み合わせて、端子電圧・電機子電流・回転速度・トルクのうち未知のものを求めます。モーターの起動電流や速度、発電機の出力電圧を見積もるときに使う基本の計算です。

なぜそうしてよいのか

電機子の導体（長さ $l$ ）が、磁束密度 $B$ の磁場の中を速さ $v$ で横切ると、導体には $B l v$ の起電力が生じます（ファラデーの法則で、単位時間に横切る磁束が $B l v$ だから）。回転数を $n$ ［ $mi n^{- 1}$ ］（1 分間の回転数）とすると、導体の速さ $v$ は $n$ に比例し、磁極 1 つあたりの磁束 $Φ$ が大きいほど $B$ も大きくなります。整流子のおかげで、直列につながった多数の導体の起電力は同じ向きにそろって足し合わされるので、ブラシ間の起電力は $E = K Φ n$ と書けます。 $K$ は導体の数や磁極の数など、機械の作りだけで決まる定数です。

同じ導体に電機子電流 $I_{a}$ が流れると、各導体は $F = I B l$ の力を受け、回転軸から半径 $r$ のところで $F r$ のトルクを生みます。整流子によって力の向きも常に同じ回転方向にそろうので、全体のトルクは $Φ$ と $I_{a}$ に比例し、 $T = K^{'} Φ I_{a}$ となります。

二つの定数はばらばらではありません。電機子が受け取る（または生み出す）電力 $E I_{a}$ は、回転の機械的な仕事率 $T ω$ にそのまま変わります（ $ω = \frac{2 π n}{60}$ ［ $rad/s$ ］は角速度）。 $E I_{a} = T ω$ に上の 2 式を入れると $K Φ n I_{a} = K^{'} Φ I_{a} \frac{2 π n}{60}$ より $K^{'} = \frac{60 K}{2 π}$ です。また電機子巻線には抵抗 $R_{a}$ があるので、電池の端子電圧と同じ考え方で、発電機（電流を外へ送り出す）では $V = E - R_{a} I_{a}$ 、電動機（電源から電流が流れ込み、 $E$ はそれに逆らう逆起電力）では $V = E + R_{a} I_{a}$ となります。

手順

発電機か電動機かを見分け、電機子回路の式を選ぶ：発電機は $V = E - R_{a} I_{a}$ 、電動機は $V = E + R_{a} I_{a}$ 。
回路の式から、誘導起電力 $E$ （または電流 $I_{a}$ 、端子電圧 $V$ ）を求める。
回転数 $n$ ［ $mi n^{- 1}$ ］を角速度 $ω = \frac{2 π n}{60}$ ［ $rad/s$ ］に直す。
電力の関係 $E I_{a} = T ω$ からトルク $T = \frac{E I _{a}}{ω}$ を求める。
磁束や回転数が変わる問題では、 $E = K Φ n$ 、 $T = K^{'} Φ I_{a}$ の比例関係を使って、変わる前と後の比をとる（例： $Φ$ 一定なら $\frac{E ^{'}}{E} = \frac{n ^{'}}{n}$ ）。

例題

他励直流電動機を端子電圧 $V = 220 V$ で運転したところ、電機子電流 $I_{a} = 50 A$ 、回転数 $n = 1500 mi n^{- 1}$ であった。電機子巻線の抵抗は $R_{a} = 0.2 Ω$ とし、ブラシの電圧降下は無視する。電動機が発生するトルク [ $N \cdot m$ ] を正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1：電動機なので $V = E + R_{a} I_{a}$ 。

手順 2：
$E = V - R_{a} I_{a} = 220 - 0.2 \times 50 = 210 V$

手順 3：
$ω = \frac{2 π n}{60} = \frac{2 π \times 1500}{60} = 50 π rad/s$

手順 4：
$T = \frac{E I _{a}}{ω} = \frac{210 \times 50}{50 π} = \frac{210}{π} N \cdot m (\approx 66.8 N \cdot m)$

答え: $\frac{210}{π}$

よくある誤り

トルクを端子電圧から $T = \frac{V I _{a}}{ω}$ と計算してしまう誤り。 $V I_{a}$ には電機子抵抗で熱になる $R_{a} I_{a}^{2}$ が含まれるので、機械的な仕事に変わるのは $E I_{a}$ だけ。正しくは $T = \frac{E I _{a}}{ω}$ （例題なら $\frac{220 \times 50}{50 π} = \frac{220}{π}$ ではなく $\frac{210}{π}$ ）。
回転数 $n$ ［ $mi n^{- 1}$ ］をそのまま角速度として $T = \frac{E I _{a}}{n}$ としてしまう誤り。正しくは $ω = \frac{2 π n}{60}$ ［ $rad/s$ ］に直してから割る。
電動機と発電機で電機子回路の符号を取り違え、電動機で $E = V + R_{a} I_{a}$ としてしまう誤り。電動機では逆起電力 $E$ が電源電圧より小さく、正しくは $E = V - R_{a} I_{a}$ 。発電機では $E$ のほうが大きく、 $V = E - R_{a} I_{a}$ 。
回転数が変わっても誘導起電力が一定だと考えてしまう誤り。 $E = K Φ n$ なので、磁束 $Φ$ が一定なら $E$ は回転数に比例する。例えば $1500 mi n^{- 1}$ で $E = 210 V$ なら、 $1200 mi n^{- 1}$ では $E = 210 \times \frac{1200}{1500} = 168 V$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
他励直流電動機を端子電圧 $V = 220 V$ で運転したところ、電機子電流 $I_{a} = 40 A$ 、回転速度 $n = 1500 mi n^{- 1}$ で一定の速さで回転した。電機子回路の抵抗は $R_{a} = 0.50 Ω$ である。ブラシの電圧降下と電機子反作用は無視する。
このとき電動機が発生するトルク $T$ は何 $N \cdot m$ か。 $π$ を含む正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

直流電動機の速度特性と速度制御（大学物理電力・電気機器）