直流電動機の速度特性と速度制御

他励・分巻・直巻電動機で、端子電圧・界磁磁束・負荷トルクの条件からトルクのつり合いと $V = K Φ n + R_{a} I_{a}$ を連立し、運転状態を変えた後の回転速度を求められる

前提

直流機の誘導起電力とトルク（大学物理電力・電気機器）

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算数中学高校大学大学院

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直流機の誘導起電力とトルク（大学物理電力・電気機器）

説明

直流電動機の回転速度は、端子電圧・界磁磁束（磁極の磁束）・負荷の重さ（負荷トルク）によって決まり、これらを変えることで速度を広い範囲で調節できます。この技能では、電機子回路の式 $V = K Φ n + R_{a} I_{a}$ と、「電動機のトルク $K^{'} Φ I_{a}$ が負荷トルクとつり合う」という条件を連立して、電圧を下げたり界磁を弱めたり負荷を変えたりした後の回転速度を求めます。界磁の付け方（他励・分巻・直巻）によって磁束の決まり方が違うので、その違いも扱います。電車・クレーン・圧延機などの速度制御を考える基本です。

なぜそうしてよいのか

電機子回路の式 $V = E + R_{a} I_{a}$ に $E = K Φ n$ を入れて $n$ について解くと
$n = \frac{V - R _{a} I _{a}}{K Φ}$
です。つまり回転速度は「逆起電力 $E = V - R_{a} I_{a}$ を磁束 $Φ$ で割ったもの」に比例します。電圧 $V$ を下げれば遅くなり、磁束 $Φ$ を弱めれば（同じ逆起電力を出すにはより速く回る必要があるので）速くなります。

では電機子電流 $I_{a}$ はどう決まるのでしょうか。電動機が一定の速さで回っているとき、軸の回転は加速も減速もしていないので、軸にはたらくトルクの和は $0$ です。 $T = K^{'} Φ I_{a}$ は電機子電流が磁界から受ける力によるトルクで、実際にはそこから軸受けの摩擦・風の抵抗による機械損や、鉄心で生じる鉄損の分のトルクが差し引かれます。これらの損失を無視すれば、電動機のトルクと負荷トルク $T_{L}$ がつり合い、 $K^{'} Φ I_{a} = T_{L}$ が成り立ちます（以下この近似を使います）。負荷トルクが変わらなければ $Φ I_{a}$ が一定なので、磁束を $\frac{1}{k}$ にすると電機子電流は $k$ 倍になります。運転状態を変えると、いったんトルクがつり合わなくなって加速や減速が起こり、逆起電力が変わって電流が変わり、ふたたびつり合う速度に落ち着きます。その落ち着いた先の速度を、この 2 式の連立で求めるのです。

磁束の決まり方は界磁巻線のつなぎ方で違います。他励電動機は界磁を別の電源で励磁するので、 $Φ$ は界磁電流だけで決まり、負荷によって変わりません。分巻電動機は界磁巻線を電機子と並列に端子電圧 $V$ につなぐので、界磁電流 $I_{f} = \frac{V}{R _{f}}$ （ $R_{f}$ は界磁回路の抵抗）で $Φ$ が決まり、電源から流れ込む電流は $I = I_{a} + I_{f}$ です。この 2 つでは、先に $Φ$ が決まり、それからトルクのつり合いで $I_{a}$ が決まります。直巻電動機は界磁巻線を電機子と直列につなぐので、磁束は電機子電流で決まり、磁気飽和を無視すれば $Φ \propto I_{a}$ 、トルクは $T = K^{'} Φ I_{a} \propto I_{a}^{2}$ です（回路の抵抗には界磁巻線の抵抗も加わる）。したがって直巻では、トルクのつり合い $T \propto I_{a}^{2} =$ （負荷トルクに比例）から先に $I_{a}$ を求め、その後で $Φ$ の比を $I_{a}$ の比として決めます。直巻電動機は負荷が軽いと $I_{a}$ も $Φ$ も小さくなって速度が非常に高くなるので、無負荷で運転してはいけません。

手順

変化前の状態で、逆起電力 $E_{1} = V_{1} - R_{a} I_{a 1}$ を求める（直巻なら $R_{a}$ に界磁巻線の抵抗も加え、分巻なら $I_{a} = I - I_{f}$ とする）。
機械損・鉄損を無視したトルクのつり合い $K^{'} Φ I_{a} = T_{L}$ から、変化後の電機子電流 $I_{a 2}$ を求める。他励・分巻では、先に磁束の比 $\frac{Φ _{2}}{Φ _{1}}$ を界磁電流の比で決め、 $\frac{Φ _{2} I _{a 2}}{Φ _{1} I _{a 1}} = \frac{T _{L 2}}{T _{L 1}}$ から $I_{a 2}$ を求める（負荷トルク一定なら $Φ_{1} I_{a 1} = Φ_{2} I_{a 2}$ ）。直巻では $T \propto I_{a}^{2}$ から $I_{a 2} = I_{a 1} \frac{T _{L 2}}{T _{L 1}}$ とする。
直巻では、求めた電流から磁束の比を $\frac{Φ _{2}}{Φ _{1}} = \frac{I _{a 2}}{I _{a 1}}$ （磁気飽和を無視）と決める（他励・分巻は手順 2 で決めた比を使う）。
変化後の逆起電力 $E_{2} = V_{2} - R_{a} I_{a 2}$ を求める。
$E = K Φ n$ の比をとって $n_{2} = n_{1} \cdot \frac{E _{2}}{E _{1}} \cdot \frac{Φ _{1}}{Φ _{2}}$ を求める。

例題

他励直流電動機が、端子電圧 $220 V$ 、電機子電流 $40 A$ 、回転数 $1500 mi n^{- 1}$ で運転している。電機子抵抗は $0.5 Ω$ で、ブラシの電圧降下、電機子反作用、機械損・鉄損は無視する。界磁電流と負荷トルクを一定に保ったまま端子電圧を $180 V$ に下げたとき、落ち着いた後の回転数 [ $mi n^{- 1}$ ] を求めよ。

例題の解答

手順 1：変化前の逆起電力は
$E_{1} = 220 - 0.5 \times 40 = 200 V$

手順 2：他励で界磁電流が一定なので $Φ_{2} = Φ_{1}$ 、 $\frac{Φ _{2}}{Φ _{1}} = 1$ 。機械損・鉄損を無視するのでトルクのつり合いが使え、負荷トルク一定から $Φ_{1} I_{a 1} = Φ_{2} I_{a 2}$ 、よって $I_{a 2} = I_{a 1} = 40 A$ 。

手順 3：他励なので、磁束の比は手順 2 の $\frac{Φ _{2}}{Φ _{1}} = 1$ のまま。

手順 4：変化後の逆起電力は
$E_{2} = 180 - 0.5 \times 40 = 160 V$

手順 5：
$n_{2} = n_{1} \cdot \frac{E _{2}}{E _{1}} \cdot \frac{Φ _{1}}{Φ _{2}} = 1500 \times \frac{160}{200} \times 1 = 1200 mi n^{- 1}$

答え: $1200$

よくある誤り

回転数を端子電圧に比例させて $n_{2} = 1500 \times \frac{180}{220} \approx 1227 mi n^{- 1}$ としてしまう誤り。回転数に比例するのは逆起電力 $E = V - R_{a} I_{a}$ なので、正しくは $n_{2} = 1500 \times \frac{160}{200} = 1200 mi n^{- 1}$ 。
界磁を弱めたとき、電機子電流が変わらないとしてしまう誤り。負荷トルクが一定なら $Φ I_{a}$ が一定なので、例えば $Φ_{2} = 0.8 Φ_{1}$ なら正しくは $I_{a 2} = \frac{I _{a 1}}{0.8} = 1.25 I_{a 1}$ となり、その電流で $E_{2} = V - R_{a} I_{a 2}$ を計算し直す。
磁束を弱めると回転数も下がると考え、 $n_{2} = n_{1} \frac{E _{2}}{E _{1}} \cdot \frac{Φ _{2}}{Φ _{1}}$ としてしまう誤り。 $n = \frac{E}{K Φ}$ なので磁束とは反比例し、正しくは $n_{2} = n_{1} \frac{E _{2}}{E _{1}} \cdot \frac{Φ _{1}}{Φ _{2}}$ （界磁を弱めると速くなる）。
直巻電動機でも磁束を一定として扱い、負荷トルクに比例して $I_{a}$ を変えてしまう誤り（負荷トルクが $\frac{1}{4}$ で $I_{a 2} = \frac{1}{4} I_{a 1}$ とする）。直巻では界磁電流が電機子電流そのものなので、磁気飽和を無視すれば $Φ \propto I_{a}$ 、 $T \propto I_{a}^{2}$ 。正しくは $I_{a 2} = I_{a 1} \frac{1}{4} = \frac{1}{2} I_{a 1}$ で、磁束も $\frac{Φ _{2}}{Φ _{1}} = \frac{1}{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電機子抵抗 $R_{a} = 0.2 Ω$ の他励直流電動機がある。端子電圧 $V = 210 V$ で運転したところ、電機子電流は $I_{a} = 50 A$ 、回転速度は $n = 1500 min^{- 1}$ であった。界磁磁束と負荷トルクを一定に保ったまま、端子電圧だけを $160 V$ に下げた。十分に時間がたって一定の速度になったときの回転速度は何 $min^{- 1}$ か。整数で答えよ。ただし、ブラシの電圧降下と電機子反作用、機械損は無視する。

直流電動機の速度特性と速度制御

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題