誘導電動機の同期速度とすべり

同期速度 $N_{s} = \frac{120 f}{p}$ とすべり $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ を求め、二次周波数 $s f$ や二次入力・二次銅損・機械出力の比 $1 : s : (1 - s)$ を使える

前提

等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））

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算数中学高校大学大学院

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電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））

説明

誘導電動機は、固定子（外側の止まっている部分）の巻線が作る回転磁界に、回転子（内側の回る部分）が引きずられて回る電動機です。回転子は回転磁界より必ず少し遅く回り、その遅れの割合を「すべり」 $s$ といいます。この技能では、回転磁界の速さ（同期速度） $N_{s} = \frac{120 f}{p}$ とすべり $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ を求め、それを使って回転子に流れる電流の周波数 $s f$ や、二次入力・二次銅損・機械的出力の割合 $1 : s : (1 - s)$ を計算します。工場のポンプやファンなど、もっとも広く使われているモーターの回転数や損失・出力を見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

ここでは次の 2 つを電動機のしくみとして前提にします。(i) 固定子の 3 組の巻線に、互いに $\frac{1}{3}$ 周期ずつずれた三相交流を流すと、3 組の電流がつくる磁場を合わせた磁場は、大きさをほぼ一定に保ったまま向きだけが一定の速さで回ります（回転磁界）。各巻線の電流が順番に最大になるので、強い磁場の向きが巻線の並び順に移っていくと考えるとわかりやすいでしょう。(ii) 磁場の中で電流が流れる導体は磁場から力を受け、回転子の導体の誘導電流は、レンツの法則により「磁界との速さの差（相対運動）を小さくする向き」、つまり回転子を回転磁界と同じ向きに引きずる向きの力を受けます。

回転磁界は N 極と S 極が交互に並んだ磁極の模様で、磁極の数を $p$ （N と S を合わせた数、必ず偶数）とすると、電源の 1 周期の間に模様は N 極 1 つと S 極 1 つの分、つまり 1 周の $\frac{2}{p}$ だけ進みます。周波数 $f$ ［Hz］なら 1 秒に $f$ 周期なので、回転磁界は 1 秒に $\frac{2 f}{p}$ 回転、1 分では $N_{s} = \frac{60 \times 2 f}{p} = \frac{120 f}{p}$ ［ $mi n^{- 1}$ ］回転します。これが同期速度です。回転子の導体は、回転磁界との速さの差の分だけ磁束を横切るので、電磁誘導で電流が流れ、(ii) の力で回転子が回ります。もし回転子が同期速度 $N_{s}$ で回ると、導体を貫く磁束が変化しなくなって誘導電流もトルク（回転させるはたらき）も $0$ になるので、トルクを出している限り回転速度 $N$ は $N_{s}$ より小さくなります。この遅れを $N_{s}$ に対する割合で表したのがすべり $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ で、停止時は $s = 1$ 、通常の運転では数 % 程度です。回転子から見た磁界の回転は $N_{s} - N = s N_{s}$ なので、回転子に誘導される電流の周波数（二次周波数）も $f$ の $s$ 倍、 $s f$ になります。

電力の流れも $s$ で分けられます。準備として、回転軸から半径 $r$ の点に回転方向の力 $F$ がはたらき、その点が速さ $v = r ω$ で動くとき、力がする仕事の割合（仕事率）は「力 × 力の向きの速さ」 $F v = F r ω$ です。 $T = F r$ をトルクとよぶと、回転で伝わる仕事率は $P = T ω$ （トルク × 角速度）と書けます。回転磁界が回転子に及ぼすトルクを $T$ とすると、固定子から磁界を通じて回転子に渡される電力（二次入力）は、磁界の角速度 $ω_{s}$ を使って $P_{2} = T ω_{s}$ です。一方、同じトルク $T$ で角速度 $ω$ で回る回転子に生じる機械的出力（軸から取り出す出力と、軸受けの摩擦や風の抵抗による機械損を合わせたもの）は $P_{m} = T ω$ です。角速度は回転数に比例するので $\frac{P _{m}}{P _{2}} = \frac{N}{N _{s}} = 1 - s$ 、差は $P_{2} - P_{m} = s P_{2}$ です。回転子での損失のうち、鉄心で生じる損失（回転子鉄損。二次周波数 $s f$ が小さいのでふつうはごく小さい）を無視する近似のもとでは、この差 $s P_{2}$ はすべて、回転子の導体を流れる電流が抵抗で熱になる分（二次銅損 $P_{c 2}$ ）です。よって $P_{2} : P_{c 2} : P_{m} = 1 : s : (1 - s)$ となります。軸から実際に取り出せる出力は、 $P_{m}$ からさらに機械損を引いたものです。

手順

極数 $p$ と電源周波数 $f$ から同期速度 $N_{s} = \frac{120 f}{p}$ ［ $mi n^{- 1}$ ］を求める。
回転子の回転数 $N$ からすべり $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ を求める（逆に $s$ がわかっていれば $N = (1 - s) N_{s}$ ）。
回転子電流の周波数が必要なら、二次周波数 $f_{2} = s f$ を求める。
電力の関係が必要なら、二次入力 $P_{2}$ ・二次銅損 $P_{c 2}$ ・機械的出力 $P_{m}$ （機械損を含む）の比 $P_{2} : P_{c 2} : P_{m} = 1 : s : (1 - s)$ を使う（ $P_{c 2} = s P_{2}$ 、 $P_{m} = (1 - s) P_{2}$ 。回転子鉄損は無視）。軸出力が必要なら $P_{m}$ から機械損を引く。

例題

極数 4、電源周波数 $50 Hz$ の三相誘導電動機が、回転数 $1440 mi n^{- 1}$ で運転している。このときの二次入力が $10 kW$ であるとき、二次銅損 [W] を求めよ。ただし回転子の鉄損は無視する。

例題の解答

手順 1：同期速度は
$N_{s} = \frac{120 f}{p} = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 mi n^{- 1}$

手順 2：すべりは
$s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}} = \frac{1500 - 1440}{1500} = \frac{60}{1500} = 0.04$

手順 3：この問題では回転子電流の周波数は問われていないので省く（参考： $f_{2} = s f = 0.04 \times 50 = 2 Hz$ ）。

手順 4：回転子鉄損を無視するので $P_{2} : P_{c 2} = 1 : s$ より
$P_{c 2} = s P_{2} = 0.04 \times 10000 = 400 W$
（参考：機械的出力は $P_{m} = (1 - s) P_{2} = 9600 W$ 。軸出力はここから機械損を引いた値になる。）

答え: $400$

よくある誤り

極数 $p$ を「極対数」（N と S の組の数）と取り違えて $N_{s} = \frac{120 \times 50}{2} = 3000 mi n^{- 1}$ としてしまう誤り。 $\frac{120 f}{p}$ の $p$ は N 極と S 極を合わせた極数なので、4 極なら正しくは $N_{s} = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 mi n^{- 1}$ 。
すべりを回転子の回転数で割って $s = \frac{N _{s} - N}{N}$ としてしまう誤り。正しくは同期速度で割り、 $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ （例題なら $\frac{60}{1440}$ ではなく $\frac{60}{1500} = 0.04$ ）。
回転子に流れる電流の周波数も電源と同じ $f$ だとしてしまう誤り。回転子から見た磁界の回転は $N_{s} - N = s N_{s}$ なので、正しくは $f_{2} = s f$ （例題の条件なら $0.04 \times 50 = 2 Hz$ ）。
機械的出力を $P_{m} = s P_{2}$ 、二次銅損を $(1 - s) P_{2}$ と入れ替えてしまう誤り。すべりが小さいほど効率よく回るので、正しくは二次銅損が $s P_{2}$ 、機械的出力が $(1 - s) P_{2}$ （例題なら銅損 $400 W$ 、機械的出力 $9600 W$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
極数 $p = 4$ の三相誘導電動機を、周波数 $f = 50 Hz$ の三相交流電源につないで運転したところ、回転子の回転速度は $N = 1440 min^{- 1}$ であった。このときのすべり $s$ を求めよ。答えは分数または小数の正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

誘導電動機の等価回路とトルク（大学物理電力・電気機器）