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電力・電気機器の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電力・電気機器

極数 $4$ の三相巻線形誘導電動機を、周波数 $50 Hz$ 、電圧の大きさが一定の対称三相電源で運転する。一相分の等価回路として、一次巻線の抵抗と励磁回路を無視し、一次側に換算した二次抵抗 $r_{2}$ と、一次・二次を合わせた漏れリアクタンス $x$ （一次側換算、一定）が直列につながった簡易等価回路を用いる。このとき、すべり $s$ における発生トルク $T$ は、定数 $K$ を用いて
$T = K \frac{r _{2} / s}{( r _{2} / s ) ^{2} + x ^{2}}$
と表される。

この電動機は、二次回路に外部抵抗を挿入しない状態で、始動トルク（ $s = 1$ のトルク）が最大トルクの $\frac{3}{5}$ 倍であり、最大トルクは $0 < s < 1$ の範囲で生じる。いま、外部抵抗を挿入しない状態で、大きさが最大トルクの $\frac{1}{2}$ 倍の一定トルクの負荷を、最大トルクを生じるすべりより小さいすべり（安定な運転点）で駆動している。

この状態から、二次回路の各相に、一次側に換算して $r_{2}$ に等しい外部抵抗を挿入した。負荷トルクは変わらず、電動機は再び安定な運転点で定常運転になったとする。このときの回転速度は何 $min^{- 1}$ か。根号を含む正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

誘導電動機の等価回路とトルク（説明と入口の問題）
誘導電動機の同期速度とすべり（説明と入口の問題）
2次方程式の解の公式と判別式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（100 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

トルクの式を最大トルク $T_{m}$ と最大トルクを生じるすべり $s_{m}$ を使って $T / T_{m}$ の形に書き直すと、すべりの比 $s / s_{m}$ だけで表せる。

ヒント 2

$\frac{T}{T _{m}} = \frac{2}{s / s _{m} + s _{m} / s}$ を使う。始動トルクの条件から $s_{m}$ が決まる。また、トルクは $r_{2} / s$ だけの関数なので、二次抵抗を 2 倍にすると同じトルクを生じるすべりも 2 倍になる（比例推移）。

ヒント 3

$s_{m} = \frac{1}{3}$ であり、挿入前の安定な運転点では $s / s_{m} = 2 - 3$ となる。同期速度は $1500 min^{- 1}$ である。

答えと解説

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10003 - 500

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解説を読む

同期速度

極数 $p = 4$ 、周波数 $f = 50 Hz$ より
$N_{s} = \frac{120 f}{p} = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 min^{- 1}$

トルクの式の整理

$T = K \frac{r _{2} / s}{( r _{2} / s ) ^{2} + x ^{2}}$ は、 $u = r_{2} / s$ とおくと $T = \frac{K}{u + x ^{2} / u}$ であり、相加平均と相乗平均の関係より分母は $u = x$ のとき最小値 $2 x$ をとる。よって最大トルクと、それを生じるすべり $s_{m}$ は
$T_{m} = \frac{K}{2 x}, s_{m} = \frac{r _{2}}{x}$
である。これを用いると
$\frac{T}{T _{m}} = \frac{2 x r _{2} / s}{( r _{2} / s ) ^{2} + x ^{2}} = \frac{2}{\frac{s}{s _{m}} + \frac{s _{m}}{s}}$
と書ける（クロスの式）。

$s_{m}$ を求める

$s = 1$ で $T / T_{m} = 3/5$ だから
$\frac{2}{\frac{1}{s _{m}} + s _{m}} = \frac{3}{5} ⟹ s_{m} + \frac{1}{s _{m}} = \frac{10}{3} ⟹ 3 s_{m}^{2} - 10 s_{m} + 3 = 0$
より $s_{m} = 3$ または $s_{m} = \frac{1}{3}$ 。最大トルクは $0 < s < 1$ で生じるので $s_{m} = \frac{1}{3}$ 。

外部抵抗挿入前の運転点

$T / T_{m} = 1/2$ より
$\frac{s}{s _{m}} + \frac{s _{m}}{s} = 4$
$t = s / s_{m}$ とおくと $t^{2} - 4 t + 1 = 0$ で $t = 2 \pm 3$ 。安定な運転点では $s < s_{m}$ すなわち $t < 1$ なので $t = 2 - 3$ 。よって
$s_{1} = \frac{2 - 3}{3} (\approx 0.0893)$

外部抵抗挿入後の運転点（比例推移）

トルクの式は $r_{2} / s$ だけの関数なので、二次回路の抵抗を $r_{2}$ から $2 r_{2}$ にしたとき、同じトルクを生じるすべり $s_{2}$ は
$\frac{2 r _{2}}{s _{2}} = \frac{r _{2}}{s _{1}} ⟹ s_{2} = 2 s_{1} = \frac{2 ( 2 - 3 )}{3} (\approx 0.179)$
となる（比例推移）。挿入後の最大トルクを生じるすべりは $2 s_{m} = \frac{2}{3}$ であり、 $s_{2} < \frac{2}{3}$ なのでこの運転点は安定側にある。また最大トルクの値 $K / (2 x)$ は二次抵抗によらないので、負荷トルク $T_{m} /2$ は引き続き駆動できる。（もう一方の解 $2 \cdot \frac{2 + 3}{3} > 1$ は運転範囲外。）

回転速度
$N = N_{s} (1 - s_{2}) = 1500 (1 - \frac{2 ( 2 - 3 )}{3}) = 1500 - 1000 (2 - 3) = 10003 - 500 min^{- 1}$
（約 $1232 min^{- 1}$ ）。

別解

$u = \frac{r _{2}}{s x}$ とおくと $T = \frac{K}{x} \cdot \frac{u}{u ^{2} + 1}$ 。最大トルクは $u = 1$ （すべり $s_{m} = r_{2} / x$ ）で $T_{m a x} = \frac{K}{2 x}$ 、したがって $\frac{T}{T _{m a x}} = \frac{2 u}{u ^{2} + 1}$ 。
(1) 始動トルク（ $s = 1$ のとき $u = t \equiv r_{2} / x$ ）: $\frac{2 t}{t ^{2} + 1} = \frac{3}{5}$ より $3 t^{2} - 10 t + 3 = 0$ 、 $t = 3$ または $t = \frac{1}{3}$ 。最大トルクが $0 < s < 1$ で生じる（ $s_{m} = t < 1$ ）ので $t = \frac{1}{3}$ 、すなわち $x = 3 r_{2}$ 。
(2) 挿入前の運転点: $\frac{2 u}{u ^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ より $u^{2} - 4 u + 1 = 0$ 、 $u = 2 \pm 3$ 。 $s < s_{m}$ の安定側は $u > 1$ なので $u = 2 + 3$ 。そのときのすべり $s = \frac{t}{u} = \frac{1/3}{2 + 3} = \frac{2 - 3}{3} \approx 0.0893$ 。
(3) 外部抵抗 $r_{2}$ を挿入すると二次抵抗は $2 r_{2}$ となり、 $t^{'} = \frac{2 r _{2}}{x} = \frac{2}{3}$ 。負荷トルクは同じなので同じ $u$ の値をとる。安定な運転点は $u^{'} = 2 + 3$ （ $s^{'} < s_{m}^{'} = \frac{2}{3}$ ）。
$s^{'} = \frac{t ^{'}}{u ^{'}} = \frac{2/3}{2 + 3} = \frac{2 ( 2 - 3 )}{3} \approx 0.1786$ （ $s^{'} = 2 s$ 、比例推移の関係と一致）。
(4) 同期速度 $N_{s} = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 min^{- 1}$ 。
$N = N_{s} (1 - s^{'}) = 1500 (1 - \frac{4 - 2 3}{3}) = 1500 - 500 (4 - 23) = 10003 - 500 \approx 1232 min^{- 1}$ 。
検算: $s^{'} = 0.17863$ , $u^{'} = \frac{2/3}{0.17863} = 3.732 = 2 + 3$ で $\frac{2 u ^{'}}{u ^{'2} + 1} = \frac{7.464}{14.928} = 0.5$ となり一致。

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