電力とジュール熱

$P = I V = R I^{2} = \frac{V ^{2}}{R}$ と $W = P t$ を使い、抵抗で消費される電力・発生するジュール熱や、水の温度上昇にかかる時間を求められる

前提

オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））

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説明

電熱線（抵抗）に電流を流したとき、1 秒あたりに発生する熱（電力）と、ある時間に発生する熱の総量（ジュール熱）を計算できるようになります。電気ポットやヒーターで水を温めるのに何秒かかるか、回路の中のどの抵抗が最も多く発熱するか、といった問題で使います。回路の電流・電圧をオームの法則で求め、それを電力の式と $W = P t$ につなげるのが基本の流れです。

なぜそうしてよいのか

電圧 $V$ の区間を電気量 $1 C$ が通り抜けると、電気が $V J$ の仕事をされ、抵抗ではそのエネルギーが熱に変わります。電流 $I$ は 1 秒あたりに通る電気量なので、1 秒あたり $I C$ が通り、熱になるエネルギーは $I V J$ です。これが電力 $P = I V$ （単位 $W = J/s$ ）です。さらにオームの法則 $V = R I$ を代入すると $P = R I^{2}$ 、 $I = \frac{V}{R}$ を代入すると $P = \frac{V ^{2}}{R}$ が得られます。3 つの式は同じ量を別の形で書いただけなので、わかっている量に合わせて選べばよいのです。

電力が一定なら、時間 $t$ の間に発生する熱は「1 秒あたりの量 × 秒数」で $W = P t$ になります。この熱がすべて水に移るなら、エネルギーが保存されるので、水の温度上昇に必要な熱量 $Q = m c Δ T$ と等しくおけます。つまり $P t = m c Δ T$ から、必要な時間 $t = \frac{m c Δ T}{P}$ が求まります。

使い分けの目安：直列では各抵抗の電流 $I$ が共通なので $P = R I^{2}$ が便利で、 $R$ が大きい抵抗ほど発熱が大きくなります。並列では各抵抗の電圧 $V$ が共通なので $P = \frac{V ^{2}}{R}$ が便利で、 $R$ が小さい抵抗ほど発熱が大きくなります。

手順

回路を読み、注目する抵抗にかかる電圧 $V$ と流れる電流 $I$ を、オームの法則 $V = R I$ と合成抵抗を使って求める（どちらか一方と $R$ がわかれば十分）
わかっている量に合わせて電力の式を選び、その抵抗の電力を計算する： $P = I V = R I^{2} = \frac{V ^{2}}{R}$
時間 $t$ を秒に直してから、発生する熱（ジュール熱）を $W = P t$ で求める
水などを温める場合は、必要な熱量 $Q = m c Δ T$ を計算し（ $m$ と $c$ の単位をそろえる）、発熱がすべて水に移るとして $P t = Q$ とおいて $t = \frac{Q}{P}$ を求める

例題

抵抗値 $40 Ω$ の電熱線を電圧 $100 V$ の電源につなぎ、質量 $300 g$ の水の中に入れた。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とし、電熱線で発生した熱はすべて水の温度上昇に使われるものとする。電熱線の抵抗値は温度によって変わらないものとする。水の温度を $25 K$ 上昇させるのにかかる時間は何秒か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：電熱線には電源の電圧がそのままかかるので $V = 100 V$ 、 $R = 40 Ω$ です。

手順 2： $V$ と $R$ がわかっているので $P = \frac{V ^{2}}{R}$ を使います。
$P = \frac{10 0 ^{2}}{40} = \frac{10000}{40} = 250 W$
（確認： $I = \frac{100}{40} = 2.5 A$ 、 $I V = 2.5 \times 100 = 250 W$ で一致します。）

手順 3・4：水の温度を $25 K$ 上げるのに必要な熱量は、比熱の単位が $J/ (g \cdot K)$ なので質量を g のまま使い、
$Q = m c Δ T = 300 \times 4.2 \times 25 = 31500 J$
発熱がすべて水に移るので $P t = Q$ より
$t = \frac{Q}{P} = \frac{31500}{250} = 126 s$
有効数字 2 桁に丸めて $1.3 \times 1 0^{2} s$ です。

答え: $1.3 \times 1 0^{2}$

よくある誤り

$P = \frac{V ^{2}}{R}$ の $V$ に、注目している抵抗の電圧ではなく電源全体の電圧を入れてしまう誤り。例えば $10 Ω$ と $30 Ω$ を直列にして $40 V$ をかけたとき、 $10 Ω$ の電力を $\frac{4 0 ^{2}}{10} = 160 W$ とするのは誤り。正しくは電流 $I = \frac{40}{40} = 1 A$ から $P = R I^{2} = 10 \times 1^{2} = 10 W$ （その抵抗の電圧 $10 V$ を使えば $\frac{1 0 ^{2}}{10} = 10 W$ と一致）。
「抵抗が大きいほど必ず発熱が大きい」としてしまう誤り。正しくは、電流が共通の直列では $P = R I^{2}$ で $R$ が大きいほど大きいが、電圧が共通の並列では $P = \frac{V ^{2}}{R}$ で $R$ が小さいほど大きい。
時間を分のまま $W = P t$ に入れてしまう誤り。 $P$ の単位 $W$ は $J/s$ なので、例えば $250 W$ で $2$ 分なら $W = 250 \times 120 = 3.0 \times 1 0^{4} J$ のように秒に直して計算する（ $250 \times 2 = 500 J$ ではない）。
比熱と質量の単位をそろえずに $Q = m c Δ T$ を計算する誤り。比熱 $4.2 J/ (g \cdot K)$ に質量 $0.30 kg$ をそのまま掛けて $0.30 \times 4.2 \times 25 = 31.5 J$ とするのは誤り。正しくは $300 g$ を使って $31500 J$ （または比熱を $4.2 \times 1 0^{3} J/ (kg \cdot K)$ に直して kg を使う）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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