交流の発生と実効値

磁場中で一定の角速度で回転するコイルの起電力 $V = V_{0} sin ω t$ を導き、 $ω = 2 π f$ 、実効値 $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 、抵抗で消費される平均電力 $P = V_{e} I_{e}$ を求められる

前提

磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）

この技能までの道筋（69 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）

説明

磁場の中でコイルを一定の速さで回すと、コイルを貫く磁束が周期的に変わり、向きと大きさが正弦関数の形で変わる起電力 $V = V_{0} sin ω t$ が生じます。これが交流で、発電機のしくみそのものです。この技能では、コイルの巻数・面積・磁場・回転の速さから最大値 $V_{0}$ と周波数 $f$ を求めます。さらに、交流を抵抗につないだときの「平均すると何 W か」を、実効値 $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ を使って求めます。

なぜそうしてよいのか

一様な磁場（磁束密度 $B$ ）の中に、面積 $S$ 、巻数 $N$ のコイルを置きます。コイルは、磁場に垂直な軸のまわりを角速度 $ω$ で回します。時刻 $t = 0$ でコイル面が磁場に垂直（磁束が最大）だったとします。時刻 $t$ ではコイル面に垂直な向き（法線）と磁場のなす角が $ω t$ なので、1 巻きを貫く磁束は、磁場のうち法線方向の成分 $B cos ω t$ を使って $Φ = B S cos ω t$ です。ファラデーの法則を時間変化率（微分）で書くと $V = - N \frac{d Φ}{d t}$ です。 $cos$ を微分すると $- ω sin ω t$ になるので、 $V = - N \cdot B S \cdot (- ω sin ω t) = N B S ω sin ω t$ となります。つまり最大値は $V_{0} = N B S ω$ です。起電力が最大になるのは、磁束が $0$ （コイル面が磁場と平行）で磁束の変化が最も速い瞬間です。

コイルは時間 $T = \frac{2 π}{ω}$ で 1 回転し、起電力も同じ周期でくり返します。1 秒あたりのくり返し回数が周波数 $f = \frac{1}{T}$ なので、 $ω = 2 π f$ です。

この起電力を抵抗 $R$ につなぐと、電流は $I = \frac{V}{R} = I_{0} sin ω t$ （ $I_{0} = \frac{V _{0}}{R}$ ）です。消費電力は $P = \frac{V ^{2}}{R} = \frac{V _{0}^{2}}{R} sin^{2} ω t$ で、時々刻々変わります。1 周期で平均すると、 $sin^{2} ω t$ と $cos^{2} ω t$ はグラフを横にずらしただけの同じ形なので、平均値は等しくなります。しかも両者の和はいつも $sin^{2} ω t + cos^{2} ω t = 1$ です。よってそれぞれの平均は $\frac{1}{2}$ で、平均電力は $P = \frac{V _{0}^{2}}{2 R}$ になります。そこで「同じ抵抗で同じ平均電力を生む直流の電圧」を実効値 $V_{e}$ と決めます。 $\frac{V _{e}^{2}}{R} = \frac{V _{0}^{2}}{2 R}$ から $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ です。電流も同様に $I_{e} = \frac{I _{0}}{2}$ なので、直流と同じ形の式 $P = V_{e} I_{e} = R I_{e}^{2} = \frac{V _{e}^{2}}{R}$ が使えます。

手順

回転角を $ω t$ とおき、1 巻きを貫く磁束を書く： $Φ = B S cos ω t$ （ $t = 0$ でコイル面が磁場に垂直のとき）
ファラデーの法則で微分して起電力を求める： $V = - N \frac{d Φ}{d t} = N B S ω sin ω t$ 、最大値 $V_{0} = N B S ω$
回転数（周波数） $f$ が与えられたら $ω = 2 π f$ に直す（周期は $T = \frac{1}{f}$ ）
実効値を求める： $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 、抵抗 $R$ なら $I_{e} = \frac{V _{e}}{R} = \frac{I _{0}}{2}$
平均電力を直流と同じ形で計算する： $P = V_{e} I_{e} = \frac{V _{e}^{2}}{R} = R I_{e}^{2}$

例題

磁束密度 $0.50 T$ の一様な磁場の中に、巻数 $100$ 、面積 $2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ の長方形コイルがある。コイルを、磁場に垂直でコイル面内にある軸のまわりに、毎秒 $50$ 回転（周波数 $50 Hz$ ）の一定の速さで回転させる。コイルの両端を、ブラシを通して $100 Ω$ の抵抗につなぐ。コイルとブラシ・導線の抵抗、およびコイルの自己誘導は無視する。抵抗で消費される平均電力は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：回転角を $ω t$ とすると、1 巻きを貫く磁束は $Φ = B S cos ω t$ である。

手順 2：微分すると $V = - N \frac{d Φ}{d t} = N B S ω sin ω t$ なので、最大値は $V_{0} = N B S ω$ である。

手順 3： $ω = 2 π f = 2 π \times 50 = 100 π rad/s$ である。よって次のようになる。
$V_{0} = 100 \times 0.50 \times 2.0 \times 1 0^{- 2} \times 100 π = 100 π V$

手順 4：実効値は $V_{e} = \frac{V _{0}}{2} = \frac{100 π}{2} = 502 π V$ （約 $222 V$ ）である。

手順 5：平均電力は次のとおり。
$P = \frac{V _{e}^{2}}{R} = \frac{( 50 2 π ) ^{2}}{100} = \frac{5000 π ^{2}}{100} = 50 π^{2} \approx 493 W$
有効数字 2 桁で $4.9 \times 1 0^{2} W$ となる。

答え: $4.9 \times 1 0^{2}$

よくある誤り

平均電力を最大値どうしの積 $V_{0} I_{0}$ としてしまう誤り。電力は $sin^{2} ω t$ に比例して変わり、その平均は $\frac{1}{2}$ である。正しくは $P = \frac{V _{0} I _{0}}{2} = V_{e} I_{e}$ 。
実効値を最大値の半分 $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ や、電圧の平均値としてしまう誤り。 $sin ω t$ の 1 周期の平均は $0$ で、電圧の平均には意味がない。実効値は平均電力が等しくなる直流電圧として決め、正しくは $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 。
周波数 $f$ をそのまま角速度として $V_{0} = N B S f$ としてしまう誤り。1 回転は $2 π rad$ なので、正しくは $ω = 2 π f$ 、 $V_{0} = N B S \cdot 2 π f$ 。
磁束が最大のときに起電力も最大になるとしてしまう誤り。起電力は磁束の変化の速さで決まる。 $Φ = B S cos ω t$ が最大のとき $V = N B S ω sin ω t = 0$ である。正しくは、コイル面が磁場と平行（ $Φ = 0$ ）の瞬間に $∣ V ∣ = V_{0}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
抵抗、自己インダクタンス $0.40 H$ のコイル、電気容量 $C$ を自由に変えられるコンデンサーを直列につなぎ、その両端に周波数 $60 Hz$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値を一定に保ったまま $C$ をゆっくり変えていくと、回路を流れる電流の実効値が最大になった。このときの $C$ は何 $μ F$ か。円周率を $π = 3.14$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、コイルと導線の抵抗は無視できるものとする（抵抗の抵抗値は一定で、その値は答えに影響しない）。
60 Hz抵抗0.40 H $C$

この技能の次に学べること

コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）
三相交流の Y 結線と Δ 結線（大学物理電力・電気機器）
振幅変調の帯域幅と電力（大学物理信号処理・通信工学）