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電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

巻数 $50$ 、面積 $1.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ の長方形のコイルがある。このコイルを磁束密度 $0.20 T$ の一様な磁場の中に置く。回転軸はコイルの面内にあってコイルの中心を通り、コイルの一辺に平行で、磁場に垂直である。この軸のまわりに、コイルを一定の角速度で毎秒 $50$ 回転させる。コイルの両端は、スリップリングとブラシを通して $10 Ω$ の抵抗につないである。コイル・導線・スリップリング・ブラシの抵抗と、コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。

このとき、抵抗で消費される電力の時間平均は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、円周率は $π$ として計算してよい。

0.20 T

回転軸

10 Ω

コイルの巻数は 50、面積は

1.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}

。回転軸はコイルの面内にある。図は模式図である

この問題で使うもの

交流の発生と実効値（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

回転するコイルに生じる起電力 $V = V_{0} sin ω t$ の最大値 $V_{0}$ を求め、そこから実効値を出して平均電力を計算する。

ヒント 2

最大値は $V_{0} = N B S ω$ で、 $ω = 2 π f$ である。実効値は $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 、平均電力は $P = V_{e} I_{e} = \frac{V _{e}^{2}}{R}$ で求める。

ヒント 3

$ω = 2 π \times 50 = 100 π rad/s$ より $V_{0} = 50 \times 0.20 \times 1.0 \times 1 0^{- 2} \times 100 π = 10 π V$ となる。あとは $P = \frac{V _{0}^{2}}{2 R}$ に代入する。

答えと解説

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49

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1. 起電力の式を導く

回転軸はコイルの面内にあり、磁場に垂直である。そのため、コイルが回転すると、コイルの面の法線と磁場のなす角が変わり、コイルを貫く磁束が変化する。

コイルの面が磁場に垂直になる瞬間を時刻 $t = 0$ とし、角速度を $ω$ とする。時刻 $t$ では、コイルの面の法線と磁場のなす角は $ω t$ である。このとき、コイル 1 巻きを貫く磁束は
$Φ = B S cos ω t$
である。ファラデーの電磁誘導の法則より、巻数 $N$ のコイルに生じる誘導起電力は
$V = - N \frac{d Φ}{d t} = - N B S \cdot (- ω sin ω t) = N B S ω sin ω t$
となる。よって起電力の最大値は $V_{0} = N B S ω$ である。

2. 角速度を求める

毎秒 $50$ 回転するので、周波数は $f = 50 Hz$ である。 $ω = 2 π f$ より
$ω = 2 π \times 50 = 100 π rad/s$

3. 最大値と実効値を求める

$V_{0} = N B S ω = 50 \times 0.20 \times 1.0 \times 1 0^{- 2} \times 100 π = 10 π V$
実効値は
$V_{e} = \frac{V _{0}}{2} = \frac{10 π}{2} V$
である。

4. 平均電力を求める

コイルなどの抵抗と自己インダクタンスは無視できるので、抵抗の両端の電圧はコイルの起電力に等しい。抵抗に流れる電流の実効値は $I_{e} = \frac{V _{e}}{R}$ であり、抵抗で消費される電力の時間平均は
$P = V_{e} I_{e} = \frac{V _{e}^{2}}{R} = \frac{1}{10} \times \frac{( 10 π ) ^{2}}{2} = 5 π^{2} W$
となる。数値にすると
$5 π^{2} \approx 5 \times 9.87 = 49.3 W$
である。有効数字 2 桁に丸めると、答えは $49 W$ である。

（参考）実効値を使うと、交流でも直流と同じ式 $P = \frac{V ^{2}}{R}$ で平均電力を計算できる。

別解

回転数 $f = 50 Hz$ なので角速度は $ω = 2 π f = 100 π rad/s$ 。
交流起電力の最大値は $V_{0} = N B S ω = 50 \times 0.20 \times 1.0 \times 1 0^{- 2} \times 100 π = 10 π V$ 。
コイルの抵抗は無視するので、抵抗 $R = 10 Ω$ にかかる電圧の最大値も $10 π V$ となる。
平均電力は $P ˉ = \frac{V _{0}^{2}}{2 R} = \frac{( 10 π ) ^{2}}{2 \times 10} = 5 π^{2} W$ 。
$π^{2} \approx 9.8696$ なので $P ˉ \approx 49.35 W \approx 49 W$ （有効数字2桁）。
検算：実効電圧は $V_{e} = 10 π / 2 \approx 22.2 V$ 、 $V_{e}^{2} / R = 493.5/10 = 49.35 W$ で一致する。

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