コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相

コイルのリアクタンス $X_{L} = ω L$ 、コンデンサーのリアクタンス $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ を求め、電流に対して電圧の位相がコイルでは $\frac{π}{2}$ 進み、コンデンサーでは $\frac{π}{2}$ 遅れることを使って、コイルだけ・コンデンサーだけの回路の電流の実効値や瞬間の電流の式を求められる

前提

交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）

説明

交流電源にコイルだけ、またはコンデンサーだけをつないだときに、どれだけの電流が流れるか（実効値・最大値）と、各瞬間の電流がどんな式で表されるかを求められるようになります。コイルやコンデンサーは、抵抗と同じように「電流の流れにくさ」をもちます。これをリアクタンスといい、単位は抵抗と同じ $Ω$ です。ただし抵抗と違い、電圧と電流の山がそろわず、位相が $\frac{π}{2}$ ずれます。交流回路の基本となる考え方で、周波数を変えたときの電流の変化や、フィルター回路などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

コイルの場合。 抵抗の無視できるコイル（自己インダクタンス $L$ ）に電流 $I$ が流れると、自己誘導起電力 $- L \frac{Δ I}{Δ t}$ が生じます。導線にもコイルにも抵抗がないので、電源の電圧 $v$ はこの起電力とちょうど打ち消し合わなければなりません。よって、電流が変化する割合を微分で表すと $v = L \frac{d I}{d t}$ です。電流を $I = I_{0} sin ω t$ とすると、 $sin$ の導関数を使って $v = ω L I_{0} cos ω t = ω L I_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ となります。電圧の最大値は $V_{0} = ω L I_{0}$ で、電圧の位相は電流より $\frac{π}{2}$ 進んでいます。電流が最も急に増える瞬間（ $I = 0$ のとき）に電圧が最大になる、というのが直観的な理由です。

コンデンサーの場合。 電気容量 $C$ のコンデンサーでは、極板にたまる電気量が $Q = C v$ となります（電気容量の定義で、単位は F）。流れ込む電流は電気量の時間変化率なので $I = \frac{d Q}{d t} = C \frac{d v}{d t}$ です。電圧を $v = V_{0} sin ω t$ とすると $I = ω C V_{0} cos ω t = ω C V_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ となります。電流は電圧より $\frac{π}{2}$ 進んでいます。言いかえると、電圧は電流より $\frac{π}{2}$ 遅れます。最大値の比は $\frac{V _{0}}{I _{0}} = \frac{1}{ω C}$ です。

どちらの場合も、最大値の比 $\frac{V _{0}}{I _{0}}$ が抵抗の役割をします。これをリアクタンスと呼び、 $X_{L} = ω L$ 、 $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ と書きます。実効値は最大値をそれぞれ $2$ で割ったものなので、比は変わらず $V_{e} = X I_{e}$ が成り立ちます。 $ω$ が大きい（周波数が高い）ほど、コイルは電流を通しにくくなり、コンデンサーは電流を通しやすくなります。

手順

角周波数を求める：周波数 $f$ が与えられたら $ω = 2 π f$ とする。
リアクタンスを求める：コイルなら $X_{L} = ω L$ 、コンデンサーなら $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ （単位 $Ω$ ）。
電流の大きさを求める：実効値は $I_{e} = \frac{V _{e}}{X}$ 、最大値は $I_{0} = \frac{V _{0}}{X}$ 。実効値と最大値を混ぜて使わない。
位相を決めて瞬間の式を書く： $v = V_{0} sin ω t$ のとき、コイルでは電流が $\frac{π}{2}$ 遅れるので $I = \frac{V _{0}}{ω L} sin (ω t - \frac{π}{2}) = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ となる。コンデンサーでは電流が $\frac{π}{2}$ 進むので $I = ω C V_{0} sin (ω t + \frac{π}{2}) = ω C V_{0} cos ω t$ となる。

例題

電気容量 $C$ のコンデンサーだけを交流電源につなぐ。コンデンサーの両端の電圧は、極板 A の電位から極板 B の電位を引いたものとして $v = V_{0} sin ω t$ で表される（ $V_{0} > 0$ , $ω > 0$ ）。導線の抵抗は無視する。電源から極板 A に流れ込む向きを電流の正の向きとするとき、時刻 $t$ における電流 $I$ を、 $C$ , $V_{0}$ , $ω$ , $t$ を用いて求めよ。

例題の解答

（手順 1）角周波数は $ω$ として与えられているので、そのまま使います。
（手順 2）コンデンサーのリアクタンスは $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ です。
（手順 3）電流の最大値は $I_{0} = \frac{V _{0}}{X _{C}} = ω C V_{0}$ です。
（手順 4）コンデンサーでは、電流の位相は電圧より $\frac{π}{2}$ 進みます。よって $I = ω C V_{0} sin (ω t + \frac{π}{2}) = ω C V_{0} cos ω t$ です。
確認：極板 A の電気量は $Q = C v = C V_{0} sin ω t$ なので、A に流れ込む電流は $I = \frac{d Q}{d t} = ω C V_{0} cos ω t$ となり、上の結果と一致します。

答え: $ω C V_{0} cos ω t$

よくある誤り

コンデンサーのリアクタンスを $X_{C} = ω C$ としてしまう誤り。正しくは $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ です。 $ω$ や $C$ が大きいほど電流は流れやすくなり、リアクタンスは小さくなります。
$ω$ の代わりに周波数 $f$ をそのまま使い、 $X_{L} = f L$ としてしまう誤り。正しくは $X_{L} = ω L = 2 π f L$ です。例えば $f = 50 Hz$ 、 $L = 0.20 H$ なら $X_{L} = 20 π \approx 63 Ω$ です。
位相の向きを逆にしてしまう誤り。コイルでは電圧が電流より $\frac{π}{2}$ 進み（電流が遅れ）、コンデンサーでは電圧が電流より $\frac{π}{2}$ 遅れます（電流が進む）。 $v = V_{0} sin ω t$ のとき、コイルの電流は $- \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ で、 $+ \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ ではありません。
瞬間の電流を $I = \frac{v}{X} = \frac{V _{0}}{X} sin ω t$ と、抵抗と同じように計算してしまう誤り。 $V = X I$ が成り立つのは最大値どうし・実効値どうしだけです。瞬間の値は位相が $\frac{π}{2}$ ずれるので、例えばコンデンサーでは $I = ω C V_{0} cos ω t$ となります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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