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電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

自己インダクタンス $L$ のコイルだけを交流電源につないだ回路がある。コイルの両端を端子 $a$ , $b$ とし、コイルにかかる電圧 $v$ は時刻 $t$ において
$v = V_{0} sin ω t$
で表される（ $V_{0} > 0$ , $ω > 0$ は定数）。電圧 $v$ は端子 $a$ の電位が端子 $b$ の電位より高いときを正とし、電流 $i$ は端子 $a$ からコイルを通って端子 $b$ へ流れる向きを正とする。コイルの抵抗と導線の抵抗は無視でき、電流 $i$ は一定の成分（直流成分）を含まず正弦的に振動するものとする。電流 $i$ を $V_{0}$ , $ω$ , $L$ , $t$ を用いて表せ。

a

b

v = V_{0} sin ω t

L

i

この問題で使うもの

コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コイルのリアクタンス $X_{L} = ω L$ と、コイルでは電流に対して電圧の位相が $\frac{π}{2}$ 進むことを使います。

ヒント 2

電流の最大値は $I_{0} = \frac{V _{0}}{X _{L}}$ です。電圧が $\frac{π}{2}$ 進むので、電流は電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れます。

ヒント 3

$I_{0} = \frac{V _{0}}{ω L}$ で、電流は $i = I_{0} sin (ω t - \frac{π}{2})$ と書けます。あとは加法定理で整理しましょう。

答えと解説

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- \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t

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解説を読む

手順 1：コイルのリアクタンスを求める。
コイルのリアクタンスは
$X_{L} = ω L$
である。

手順 2：電流の最大値を求める。
リアクタンスは交流に対する抵抗のはたらきをするので、電流の最大値 $I_{0}$ は
$I_{0} = \frac{V _{0}}{X _{L}} = \frac{V _{0}}{ω L}$
となる。

手順 3：位相の関係を使う。
コイルでは、電圧の位相が電流の位相より $\frac{π}{2}$ 進む。言いかえると、電流の位相は電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れる。電圧の位相は $ω t$ なので、電流の位相は $ω t - \frac{π}{2}$ である。したがって
$i = I_{0} sin (ω t - \frac{π}{2}) = \frac{V _{0}}{ω L} sin (ω t - \frac{π}{2})$
加法定理より $sin (ω t - \frac{π}{2}) = - cos ω t$ なので
$i = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$

確かめ： コイルの抵抗が無視できるので、電源の電圧は自己誘導起電力とつり合い、 $v = L \frac{Δ i}{Δ t}$ （向きは問題文の正の向き）が成り立つ。 $i = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ を $t$ で微分すると $\frac{V _{0}}{ω L} \cdot ω sin ω t = \frac{V _{0}}{L} sin ω t$ となり、 $L$ 倍すると $V_{0} sin ω t = v$ に一致する。

よって $i = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ である。

別解

端子 a から b へ電流 $i$ を正とするとき、コイルの a 側が高電位である電圧 $v$ は、コイルを流れる電流の増加を妨げる向きの逆起電力に釣り合う。したがって、抵抗がなければ $v = L \frac{d i}{d t}$ となる。

$L \frac{d i}{d t} = V_{0} sin ω t$

両辺を時間で積分すると

$i = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t + C$

直流成分を含まないので $C = 0$ である。よって

$i = - \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t = \frac{V _{0}}{ω L} sin (ω t - \frac{π}{2})$

検算： $\frac{d i}{d t} = \frac{V _{0}}{L} sin ω t$ なので、 $L \frac{d i}{d t} = V_{0} sin ω t = v$ となり成立する。電流は電圧より位相が $π /2$ 遅れていて、コイルの性質と一致する。

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