電磁気と交流の問題

方針　並列回路では、2 つの枝に共通の電圧 $V=V_0\sin \omega t$ がかかる。各枝の電流を、この電圧に対する位相のずれを考えて式で表し、足し合わせる。

各リアクタンス　コンデンサーのリアクタンスは
$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1000\times 20\times 10^{-6}}=50\Omega$$
枝 1 のインピーダンスを $Z_1$ とすると
$$Z_1^2=R^2+X_C^2=50^2+50^2=5000{\Omega }^2$$

枝 1 の電流　抵抗とコンデンサーの直列部分では、電流が電圧より位相 $\varphi$ だけ進む。ここで
$$\cos \varphi =\frac{R}{Z_1},\sin \varphi =\frac{X_C}{Z_1}$$
である。電流の最大値は $\frac{V_0}{Z_1}$ なので、加法定理を使って
$$I_1=\frac{V_0}{Z_1}\sin (\omega t+\varphi )=\frac{V_0}{Z_1}(\sin \omega t\cos \varphi +\cos \omega t\sin \varphi )=\frac{V_{0}R}{Z_1^2}\sin \omega t+\frac{V_0{X}_C}{Z_1^2}\cos \omega t$$

枝 2 の電流　コイルでは電流が電圧より $\frac{\pi }{2}$ 遅れる。最大値は $\frac{V_0}{\omega L}$ なので
$$I_2=\frac{V_0}{\omega L}\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{V_0}{\omega L}\cos \omega t$$

足し合わせ　キルヒホッフの第 1 法則より、電源から流れ出る電流は $I=I_1+I_2$ である。
$$I=\frac{V_{0}R}{Z_1^2}\sin \omega t+\left(\frac{V_0{X}_C}{Z_1^2}-\frac{V_0}{\omega L}\right)\cos \omega t$$

同位相の条件　$I$ が $V=V_0\sin \omega t$ と同位相になるのは、$\cos \omega t$ の項が消えるときである。
$$\frac{X_C}{Z_1^2}=\frac{1}{\omega L}\text{より}\omega L=\frac{Z_1^2}{X_C}=\frac{5000}{50}=100\Omega$$
したがって
$$L=\frac{100}{1000}=0.10\mathrm{H}$$

枝 1 のインピーダンスは、容量リアクタンスが $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1000\times 20\times 10^{-6}}=50\Omega$ なので、$Z_1=R-j{X}_C=50-50j$ である。

アドミタンスは $Y_1=\frac{1}{50(1-j)}=\frac{1+j}{100}=0.010+0.010j$ (S)。虚部は +0.010 S で、電圧より位相が進む成分を表す。

枝 2 のアドミタンスは $Y_2=\frac{1}{j\omega L}=-j\frac{1}{\omega L}$。

全体の電流が電圧と同位相になるには、合成アドミタンスの虚部が 0 になればよい。
$0.010-\frac{1}{\omega L}=0$ より $\omega L=100\Omega$、よって $L=\frac{100}{1000}=0.10$ H。

検算：$V=V_0\sin \omega t$ とする。枝 1 の電流の振幅は $V_0/(50\sqrt{2})$ で、位相は $45^{\circ }$ 進む。その電圧と同位相の成分は $V_0/100$、$90^{\circ }$ 進む成分は $V_0/100$。枝 2 の電流は振幅 $V_0/100$ で、位相は $90^{\circ }$ 遅れる。したがって進み成分と遅れ成分が打ち消し合い、合成電流は $V_0/100$ の同位相成分だけになる。