並列回路の電流の位相を考えた足し合わせと同位相条件

並列回路の各枝の電流を、共通の電圧に対する位相のずれを考えて（三角関数の加法定理・合成やベクトル図で）足し合わせ、電源から流れ出る電流が電源電圧と同位相になる条件（例: RL 直列とコンデンサーの並列で $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ ）から $C$ などを求められる

前提

RLC 直列回路のインピーダンスと共振（高校物理電磁気と交流）
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）

この技能までの道筋（77 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
RLC 直列回路のインピーダンスと共振（高校物理電磁気と交流）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）

説明

コイルとコンデンサーを並列につないだ回路のように、交流電源に並列につながれた枝の電流を足し合わせて、電源から流れ出る電流を求める技能です。各枝の電流は同じ電圧に対して位相がずれているので、振幅（や実効値）をそのまま足すことはできません。位相のずれを考えて足し合わせれば、全電流の振幅と位相がわかります。さらに、全電流が電源電圧と同位相になる条件から、 $C$ や $L$ を求められます。

なぜそうしてよいのか

並列回路では、どの枝の両端にも同じ電圧 $v = V_{0} sin ω t$ がかかります。各枝の電流は、この共通の電圧を基準にして決まります。抵抗だけの枝では $\frac{V _{0}}{R} sin ω t$ （同位相）です。コンデンサーだけの枝では $ω C V_{0} cos ω t$ （位相が $\frac{π}{2}$ 進む）です。コイルだけの枝では $- \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ （位相が $\frac{π}{2}$ 遅れる）です。抵抗 $R$ とコイル $L$ を直列にした枝では、直列回路の考え方から、インピーダンスは $Z_{1} = R^{2} + ω^{2} L^{2}$ です。電流は振幅 $\frac{V _{0}}{Z _{1}}$ で、位相が $ϕ$ だけ遅れます（ $cos ϕ = \frac{R}{Z _{1}}$ 、 $sin ϕ = \frac{ω L}{Z _{1}}$ ）。

分岐点では各瞬間ごとに電流が保存されるので（キルヒホッフの第 1 法則）、全電流は各枝の電流の瞬間値の和 $i = i_{1} + i_{2} + \dots$ です。位相のずれた正弦波を足すには、加法定理で各電流を $sin ω t$ の成分（電圧と同位相）と $cos ω t$ の成分（電圧より $\frac{π}{2}$ 進んだ成分）に分けます。たとえば RL 枝は $\frac{V _{0}}{Z _{1}} sin (ω t - ϕ) = \frac{V _{0} R}{Z _{1}^{2}} sin ω t - \frac{V _{0} ω L}{Z _{1}^{2}} cos ω t$ と分けられます。成分どうしは普通の数として足せるので、全電流は $i = A sin ω t + B cos ω t$ の形になります。三角関数の合成により、その振幅は $A^{2} + B^{2}$ です。ベクトル図でいえば、電圧の向きを横軸、 $\frac{π}{2}$ 進んだ向きを縦軸にとり、各電流を矢印として足すのと同じことです。

全電流が電圧と同位相になるのは、 $cos ω t$ の成分が消えるとき、つまり $B = 0$ のときです（このとき $A > 0$ であることも確かめます）。RL 直列の枝とコンデンサーを並列にした場合は、 $ω C V_{0} - \frac{V _{0} ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = 0$ です。これを解くと $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ になります。

手順

共通の電圧を $v = V_{0} sin ω t$ とおく（ $V_{0}$ は電圧の最大値）。
各枝について、電流の振幅と、電圧に対する位相のずれを求める（R：同位相、C： $\frac{π}{2}$ 進む、L： $\frac{π}{2}$ 遅れる、RL 直列：振幅 $\frac{V _{0}}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ で $ϕ$ 遅れる）。
加法定理で、各枝の電流を $sin ω t$ の成分と $cos ω t$ の成分に分ける。例： $\frac{V _{0}}{Z _{1}} sin (ω t - ϕ) = \frac{V _{0}}{Z _{1}} (cos ϕ sin ω t - sin ϕ cos ω t)$
成分ごとに足して、全電流を $i = A sin ω t + B cos ω t$ の形にまとめる（全電流の振幅は $A^{2} + B^{2}$ ）。
同位相の条件 $B = 0$ を立て、求めたい量（ $C$ など）について解く。

例題

抵抗値 $30 Ω$ の抵抗と自己インダクタンス $0.40 H$ のコイルを直列につなぎ、これを 1 つの枝とする。この枝と、電気容量 $C$ のコンデンサーだけの枝とを並列につなぎ、その両端に角周波数 $100 rad/s$ の交流電源をつなぐ。導線と電源の抵抗は無視する。電源から流れ出る電流が電源電圧と同位相になるとき、 $C$ は何 F か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：並列なので、両方の枝に同じ電圧 $v = V_{0} sin ω t$ （ $ω = 100 rad/s$ ）がかかる。

手順 2：RL 枝では $ω L = 100 \times 0.40 = 40 Ω$ なので、インピーダンスは $Z_{1} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 50 Ω$ である。この枝の電流は、振幅 $\frac{V _{0}}{50}$ で、位相が $ϕ$ だけ遅れる。ここで $cos ϕ = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$ 、 $sin ϕ = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ である。コンデンサーの枝の電流は、振幅 $ω C V_{0} = 100 C V_{0}$ で、位相が $\frac{π}{2}$ 進む。

手順 3：加法定理で成分に分けると、次のようになる。 $i_{1} = \frac{V _{0}}{50} sin (ω t - ϕ) = \frac{V _{0}}{50} (\frac{3}{5} sin ω t - \frac{4}{5} cos ω t) = \frac{3 V _{0}}{250} sin ω t - \frac{4 V _{0}}{250} cos ω t$ $i_{2} = 100 C V_{0} cos ω t$

手順 4：成分ごとに足すと、全電流は次の形になる。 $i = i_{1} + i_{2} = \frac{3 V _{0}}{250} sin ω t + (100 C - \frac{4}{250}) V_{0} cos ω t$

手順 5：同位相になる条件は、 $cos ω t$ の係数が 0 になることである（このとき $sin ω t$ の係数 $\frac{3 V _{0}}{250}$ は正なので、確かに同位相になる）。 $100 C = \frac{4}{250} \Rightarrow C = \frac{4}{25000} = 1.6 \times 1 0^{- 4} F$ 公式 $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = \frac{0.40}{900 + 1600} = 1.6 \times 1 0^{- 4}$ とも一致する。

答え: $1.6 \times 1 0^{- 4}$

よくある誤り

各枝の電流の振幅（または実効値）をそのまま足して $I = I_{1} + I_{2}$ としてしまう誤り。正しくは、 $sin ω t$ と $cos ω t$ の成分に分けて足す。全電流を $A sin ω t + B cos ω t$ と表したとき、振幅は $A^{2} + B^{2}$ である。
直列共振の条件 $ω L = \frac{1}{ω C}$ を使って $C = \frac{1}{ω ^{2} L}$ としてしまう誤り。正しくは、RL 枝の $cos ω t$ 成分 $\frac{V _{0} ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ とコンデンサーの電流 $ω C V_{0}$ が打ち消し合う条件から、 $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ となる（ $R = 0$ のときだけ両者は一致する）。
コンデンサーの電流を $- ω C V_{0} cos ω t$ （遅れる）としたり、コイルの電流を進むとしてしまう誤り。正しくは、コンデンサーの電流は $+ ω C V_{0} cos ω t$ で $\frac{π}{2}$ 進み、コイルの電流は $- \frac{V _{0}}{ω L} cos ω t$ で $\frac{π}{2}$ 遅れる。
RL 枝の電流の振幅を $\frac{V _{0}}{R}$ 、成分を $\frac{V _{0}}{R} cos ϕ$ などとしてしまう誤り。正しくは、振幅は枝のインピーダンスを使って $\frac{V _{0}}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ である。成分は $\frac{V _{0} R}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ と $\frac{V _{0} ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ部分を X とする。X と、電気容量 $C$ のコンデンサーを並列につなぎ、その両端に角周波数 $ω$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数 $ω$ は一定である。
この角周波数 $ω$ の交流に対して、電源から流れ出る電流が電源の電圧と同位相になるようにしたい。そのための $C$ を、 $R$ , $L$ , $ω$ を用いて表せ。ただし、コイルの導線と回路の導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、回路は十分に時間がたった定常状態にあるものとする。
$ω$ $R$ $L$ $C$ X