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電磁気と交流の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理電磁気と交流

抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ部分を X とする。X と、電気容量 $C$ のコンデンサーを並列につなぎ、その両端に角周波数 $ω$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数 $ω$ は一定である。

この角周波数 $ω$ の交流に対して、電源から流れ出る電流が電源の電圧と同位相になるようにしたい。そのための $C$ を、 $R$ , $L$ , $ω$ を用いて表せ。ただし、コイルの導線と回路の導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、回路は十分に時間がたった定常状態にあるものとする。

ω

R

L

C

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ヒント 1

並列なので X とコンデンサーには同じ電圧がかかります。それぞれの電流を、電圧と同位相の成分と、位相が $\frac{π}{2}$ ずれた成分に分けて考えましょう。

ヒント 2

X の電流は電圧より $φ$ 遅れ（ $tan φ = \frac{ω L}{R}$ ）、大きさは $\frac{V _{0}}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ 。コンデンサーの電流は電圧より $\frac{π}{2}$ 進み、大きさは $ω C V_{0}$ です。

ヒント 3

電圧を $V_{0} sin ω t$ とすると、X の電流の $cos ω t$ の成分は $- \frac{V _{0} ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} cos ω t$ です。これをコンデンサーの電流 $ω C V_{0} cos ω t$ が打ち消す条件を考えましょう。

答えと解説

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\frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}

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電源の電圧を $v = V_{0} sin ω t$ とする。X とコンデンサーは並列なので、どちらにもこの電圧 $v$ がかかる。

X を流れる電流: X のインピーダンスは $Z = R^{2} + (ω L)^{2}$ で、電流は電圧より位相が $φ$ だけ遅れる。ここで
$cos φ = \frac{R}{Z}, sin φ = \frac{ω L}{Z}$
である。よって X の電流は
$i_{1} = \frac{V _{0}}{Z} sin (ω t - φ) = \frac{V _{0}}{Z} (cos φ sin ω t - sin φ cos ω t) = \frac{V _{0} R}{Z ^{2}} sin ω t - \frac{V _{0} ω L}{Z ^{2}} cos ω t$

コンデンサーを流れる電流: コンデンサーのリアクタンスは $\frac{1}{ω C}$ で、電流は電圧より位相が $\frac{π}{2}$ 進むので
$i_{2} = ω C V_{0} sin (ω t + \frac{π}{2}) = ω C V_{0} cos ω t$

電源の電流: キルヒホッフの法則より、電源から流れ出る電流は
$i = i_{1} + i_{2} = \frac{V _{0} R}{Z ^{2}} sin ω t + (ω C - \frac{ω L}{Z ^{2}}) V_{0} cos ω t$
これが電圧 $V_{0} sin ω t$ と同位相になるには、 $cos ω t$ の項が $0$ であればよい。よって
$ω C = \frac{ω L}{Z ^{2}}$
$C = \frac{L}{Z ^{2}} = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$
このとき $i = \frac{V _{0} R}{Z ^{2}} sin ω t$ となり、 $\frac{V _{0} R}{Z ^{2}} > 0$ なので確かに電圧と同位相である。なお、この $C$ の値は $ω$ を含むので、同位相になるのはこの角周波数 $ω$ の交流に対してだけである。

別解

電源電圧の実効値を $V$ とする。X のインピーダンスの大きさは $Z_{X} = R^{2} + ω^{2} L^{2}$ 、電圧に対する電流の位相の遅れを $φ$ とすると $tan φ = \frac{ω L}{R}$ 。X に流れる電流の実効値は $I_{X} = \frac{V}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ 。

電圧を基準にすると、X の電流は電圧より位相が $φ$ 遅れ、その成分は
電圧と同位相: $I_{X} cos φ = \frac{V}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} \cdot \frac{R}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = \frac{V R}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$
電圧より $π /2$ 遅れ: $I_{X} sin φ = \frac{V ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$

コンデンサーの電流は電圧より位相が $π /2$ 進み、実効値は $I_{C} = ω C V$ 。

全電流が電圧と同位相になる条件は、位相が遅れる成分と進む成分が打ち消し合うこと:
$ω C V = \frac{V ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$
よって $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ 。

検算（複素表示）: 合成アドミタンスは $\frac{1}{R + j ω L} + j ω C = \frac{R - j ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} + j ω C$ 。虚部が 0 になる条件は $ω C = \frac{ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ で一致する。

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