RLC 直列回路のインピーダンスと共振

直列回路のインピーダンス $Z = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2}$ と電流の実効値 $I_{e} = \frac{V _{e}}{Z}$ 、電流と電圧の位相差 $tan ϕ = \frac{ω L - \frac{1}{ω C}}{R}$ を求め、共振の条件 $ω L = \frac{1}{ω C}$ （ $f = \frac{1}{2 π L C}$ ）から $C$ や周波数を求められる

前提

コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）
三角関数の合成（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）
三角関数の合成（数学II 三角関数）

説明

抵抗 $R$ ・コイル $L$ ・コンデンサー $C$ を 1 本の導線で直列につないで交流電源に接続すると、回路全体が電流をどれだけ流しにくいかを表す量が決まります。これをインピーダンス $Z$ （単位 Ω）と呼びます。 $Z$ を使うと、電流の実効値や、電流と電源電圧のずれ（位相差）が求められます。さらに、 $Z$ が最小になる周波数（共振周波数）から、ラジオの同調回路のように特定の周波数だけを強く通す条件を計算できます。

なぜそうしてよいのか

直列回路では、どの素子にも同じ電流が流れます。そこで電流を $I = I_{0} sin ω t$ とおきます。各素子の電圧は前提の技能から次のようになります。抵抗の電圧は電流と同位相なので $v_{R} = R I_{0} sin ω t$ です。コイルの電圧は電流より $\frac{π}{2}$ 進むので $v_{L} = ω L I_{0} sin (ω t + \frac{π}{2}) = ω L I_{0} cos ω t$ です。コンデンサーの電圧は $\frac{π}{2}$ 遅れるので $v_{C} = \frac{1}{ω C} I_{0} sin (ω t - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{ω C} I_{0} cos ω t$ です。

電源電圧はこれらの和です。 $v = v_{R} + v_{L} + v_{C} = I_{0} {R sin ω t + (ω L - \frac{1}{ω C}) cos ω t}$ 三角関数の合成を使うと $v = I_{0} Z sin (ω t + ϕ)$ となります。ここで $Z = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2}$ であり、 $ϕ$ は $cos ϕ = \frac{R}{Z}$ 、 $sin ϕ = \frac{ω L - \frac{1}{ω C}}{Z}$ をみたします。よって $tan ϕ = \frac{ω L - \frac{1}{ω C}}{R}$ です。 $R > 0$ より $cos ϕ > 0$ なので $- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}$ となり、 $ϕ$ は $tan ϕ$ だけで 1 つに決まります。電圧の最大値は $V_{0} = Z I_{0}$ で、両辺を $2$ で割れば $V_{e} = Z I_{e}$ になります。 $ϕ > 0$ なら電圧が電流より進み（コイルの性質が強い）、 $ϕ < 0$ なら遅れます（コンデンサーの性質が強い）。コイルとコンデンサーの電圧は互いに逆向きで打ち消し合うので、リアクタンスは足し算ではなく差 $ω L - \frac{1}{ω C}$ で効きます。

$Z$ の式を見ると、 $R$ は一定で、 $(ω L - \frac{1}{ω C})^{2} \geq 0$ です。したがって $ω L = \frac{1}{ω C}$ のとき $Z$ は最小値 $R$ をとり、電流が最大になります。このとき $ϕ = 0$ で、電圧と電流は同位相です。これを共振といいます。条件を解くと $ω = \frac{1}{L C}$ です。 $ω = 2 π f$ なので、共振周波数は $f = \frac{1}{2 π L C}$ になります。

手順

与えられた値を SI 単位にそろえる（μF → $\times 1 0^{- 6}$ F、mH → $\times 1 0^{- 3}$ H）。周波数 $f$ が与えられたら $ω = 2 π f$ を求める。
コイルとコンデンサーのリアクタンスを計算する： $X_{L} = ω L$ 、 $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ 。
インピーダンスを求める： $Z = R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}$ 。
電流の実効値を求める： $I_{e} = \frac{V _{e}}{Z}$ （最大値どうしなら $I_{0} = \frac{V _{0}}{Z}$ ）。位相差が必要なら $tan ϕ = \frac{X _{L} - X _{C}}{R}$ から求める（ $ϕ > 0$ で電圧が電流より進む）。
共振を扱うときは $ω L = \frac{1}{ω C}$ とおき、 $ω = \frac{1}{L C}$ 、 $f = \frac{1}{2 π L C}$ から周波数や $C$ を求める。共振時は $Z = R$ 、 $I_{e} = \frac{V _{e}}{R}$ になる。

例題

抵抗値 $120 Ω$ の抵抗、自己インダクタンス $0.20 H$ のコイル、電気容量 $40 μ F$ のコンデンサーを直列につなぐ。これを、角周波数 $500 rad/s$ 、電圧の実効値 $26 V$ の交流電源に接続した。導線の抵抗とコイルの抵抗は無視する。回路を流れる電流の実効値は何 A か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1（単位をそろえる）： $C = 40 μ F = 40 \times 1 0^{- 6} F = 4.0 \times 1 0^{- 5} F$ である。角周波数は $ω = 500 rad/s$ と与えられている。

手順2（リアクタンス）： $X_{L} = ω L = 500 \times 0.20 = 100 Ω$ である。また $X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{500 \times 4.0 \times 1 0 ^{- 5}} = \frac{1}{0.020} = 50 Ω$ である。

手順3（インピーダンス）： $Z = 12 0^{2} + (100 - 50)^{2} = 14400 + 2500 = 16900 = 130 Ω$ である。

手順4（電流の実効値）： $I_{e} = \frac{V _{e}}{Z} = \frac{26}{130} = 0.20 A$ である。

（参考： $tan ϕ = \frac{50}{120} > 0$ なので、電源電圧は電流より位相が進んでいる。）

答え: $0.20$

よくある誤り

抵抗とリアクタンスをそのまま足して $Z = R + ω L + \frac{1}{ω C}$ としてしまう誤り。各素子の電圧は位相がずれているので、単純には足せない。正しくは $Z = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2}$ である（例題では $120 + 100 + 50 = 270$ ではなく $130 Ω$ ）。
リアクタンスを和にして $R^{2} + (X_{L} + X_{C})^{2}$ としてしまう誤り。コイルとコンデンサーの電圧は逆位相で打ち消し合う。正しくは差 $X_{L} - X_{C}$ を使う。
共振周波数を $f = \frac{1}{L C}$ としてしまう誤り。 $\frac{1}{L C}$ は角周波数 $ω$ である。正しくは $f = \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π L C}$ である。
共振のとき $Z = 0$ になり電流が無限大になる、あるいはコイルやコンデンサーの電圧も 0 になる、と考える誤り。正しくは、共振時は $Z = R$ で $I_{e} = \frac{V _{e}}{R}$ である。コイルとコンデンサーにはそれぞれ $ω L I_{e}$ の大きさの電圧がかかっているが、互いに逆位相なので和が 0 になるだけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

RLC 直列回路のインピーダンスと共振

前提

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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