交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力

直列回路の平均電力 $P = V_{e} I_{e} cos ϕ = I_{e}^{2} R$ を求め、抵抗値 $R$ を変えたときの消費電力（例: RL 直列で $P = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ ）が最大になる $R$ と最大値を求められる

前提

RLC 直列回路のインピーダンスと共振（高校物理電磁気と交流）
消費電力の最大（高校物理電流と回路）

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算数中学高校大学大学院

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消費電力の最大（高校物理電流と回路）

説明

交流回路では電圧も電流も時々刻々と変わるので、ふつうは 1 周期の平均の消費電力 $P$ を考えます。この技能では、直列回路の平均電力を $P = V_{e} I_{e} cos ϕ = I_{e}^{2} R$ で求めます。さらに、抵抗値 $R$ を変えられるとき、消費電力が最大になる $R$ とそのときの電力を求めます。電源から負荷へ最も多くの電力を送る条件を調べる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

電源電圧を $v = V_{0} sin ω t$ 、電流を $i = I_{0} sin (ω t - ϕ)$ とします（ $ϕ$ は電流と電圧の位相差）。瞬間の電力は $p = v i$ です。積和の公式を使うと $p = V_{0} I_{0} sin ω t sin (ω t - ϕ) = \frac{V _{0} I _{0}}{2} {cos ϕ - cos (2 ω t - ϕ)}$ となります。 $cos (2 ω t - ϕ)$ は 1 周期の間に正の部分と負の部分が同じだけ現れるので、平均すると $0$ です。したがって $P = \frac{V _{0} I _{0}}{2} cos ϕ$ になります。実効値 $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ , $I_{e} = \frac{I _{0}}{2}$ を使うと $P = V_{e} I_{e} cos ϕ$ です。この $cos ϕ$ を力率といいます。コイルだけ、コンデンサーだけの部分では位相差が $\pm \frac{π}{2}$ なので $cos ϕ = 0$ となり、平均すると電力を消費しません。電力を消費するのは抵抗だけです。

直列回路では $tan ϕ = \frac{X}{R}$ です（ $X = ω L - \frac{1}{ω C}$ ）。このとき $cos ϕ = \frac{R}{Z}$ 、 $V_{e} = I_{e} Z$ なので、 $P = I_{e} Z \cdot I_{e} \cdot \frac{R}{Z} = I_{e}^{2} R$ となります。これは抵抗のジュール熱そのものです。さらに $I_{e} = \frac{V _{e}}{R ^{2} + X ^{2}}$ を代入すると $P = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + X ^{2}}$ と、 $R$ だけの式になります。

最大値は、電池の内部抵抗のときと同じく判別式で求められます。 $P = P$ とおいて分母を払うと $P R^{2} - V_{e}^{2} R + P X^{2} = 0$ です。これを満たす実数 $R$ があるためには、判別式が $V_{e}^{4} - 4 P^{2} X^{2} ≧ 0$ でなければなりません。ここから $P ≦ \frac{V _{e}^{2}}{2∣ X ∣}$ が得られます。等号が成り立つのは $R = \frac{V _{e}^{2}}{2 P} = ∣ X ∣$ のときです。つまり、抵抗値がリアクタンスの大きさに等しいときに消費電力は最大になります。このとき $cos ϕ = \frac{1}{2}$ です。この結果は $X \neq = 0$ のときに限ります。 $X = 0$ （共振）なら $P = \frac{V _{e}^{2}}{R}$ となり、 $R$ を小さくするほど大きくなるので、最大値はありません。

手順

回路にある素子だけでリアクタンスを求める： $X = ω L - \frac{1}{ω C}$ （コイルだけなら $X = ω L$ 、コンデンサーだけなら $X = - \frac{1}{ω C}$ ）
平均電力を $R$ の式で表す： $P = I_{e}^{2} R = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + X ^{2}}$ （力率を使うなら $cos ϕ = \frac{R}{Z}$ として $P = V_{e} I_{e} cos ϕ$ ）
$P = P$ とおいて分母を払い、 $R$ の 2 次方程式 $P R^{2} - V_{e}^{2} R + P X^{2} = 0$ をつくる
実数の $R$ が存在する条件（判別式 $≧ 0$ ）から $P ≦ \frac{V _{e}^{2}}{2∣ X ∣}$ を得る。等号のとき $R = ∣ X ∣$ となり、これが最大の条件と最大値である

例題

実効値 $100 V$ 、角周波数 $2.0 \times 1 0^{2} rad/s$ の交流電源に、可変抵抗 $R$ と自己インダクタンス $0.25 H$ のコイルを直列につなぐ。コイルの抵抗は無視できるとする。 $R$ を変えたとき、回路の平均消費電力が最大になる $R$ の値 [ $Ω$ ] と、そのときの平均消費電力 [W] を、有効数字 2 桁で順に求めよ。

例題の解答

手順1：コイルだけなので、リアクタンスは $X = ω L = 2.0 \times 1 0^{2} \times 0.25 = 50 Ω$ です。

手順2：平均電力は $P = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + X ^{2}} = \frac{10 0 ^{2} R}{R ^{2} + 5 0 ^{2}}$ です。

手順3： $P = P$ とおいて分母を払うと、 $P R^{2} - 10000 R + 2500 P = 0$ になります。

手順4：実数の $R$ があるための条件は、判別式 $1000 0^{2} - 4 \cdot P \cdot 2500 P ≧ 0$ です。これより $P^{2} ≦ 10000$ 、 $P > 0$ なので $P ≦ 100$ となります。 $P = 100$ のとき $100 R^{2} - 10000 R + 250000 = 0$ 、つまり $(R - 50)^{2} = 0$ なので $R = 50 Ω$ です。確かに $R = X$ となっています。

よって、 $R = 50 Ω$ のとき最大で、最大値は $1.0 \times 1 0^{2} W$ です。

答え: $(50, 1.0 \times 1 0^{2})$

よくある誤り

力率を忘れて $P = V_{e} I_{e}$ としてしまう誤り。正しくは $P = V_{e} I_{e} cos ϕ$ で、直列回路なら $cos ϕ = \frac{R}{Z}$ を掛ける。これは $I_{e}^{2} R$ に等しい。
電源電圧を抵抗だけにかかる電圧とみなして $P = \frac{V _{e}^{2}}{R}$ や $I_{e}^{2} Z$ としてしまう誤り。正しくは、抵抗にかかる電圧は $I_{e} R$ であり、 $P = I_{e}^{2} R = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + X ^{2}}$ となる。
最大値を電池のときの形のまま $\frac{V _{e}^{2}}{4∣ X ∣}$ としてしまう誤り。正しくは $R = ∣ X ∣$ のとき $P = \frac{V _{e}^{2} ∣ X ∣}{X ^{2} + X ^{2}} = \frac{V _{e}^{2}}{2∣ X ∣}$ である。
最大値 $V_{0}, I_{0}$ を使って $P = V_{0} I_{0} cos ϕ$ としてしまう誤り。正しくは $P = \frac{V _{0} I _{0}}{2} cos ϕ = V_{e} I_{e} cos ϕ$ で、最大値で書くときは $\frac{1}{2}$ が付く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
抵抗値を自由に変えられる可変抵抗と、自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につなぎ、その両端に、電圧の実効値 $V$ 、角周波数 $ω$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数は一定に保つ。
可変抵抗の抵抗値をいろいろに変えたとき、可変抵抗で消費される平均の電力の最大値を、 $V$ , $L$ , $ω$ を用いて表せ。ただし、コイルと導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、可変抵抗の抵抗値は正の値をとるものとする。
$V, ω$ 可変抵抗 $L$

この技能の次に学べること

変圧器の効率と最大効率（大学物理電力・電気機器）
有効電力・無効電力と力率（大学物理電気回路）