消費電力の最大

内部抵抗 $r$ の電池につないだ可変抵抗 $R$ の消費電力を $P = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ と $R$ の式で表し、判別式などを使って最大となる $R$ （ $R = r$ ）と最大値 $\frac{E ^{2}}{4 r}$ を求められる。可変抵抗に別の抵抗が並列につながっている場合も、並列部分を合成抵抗で表して可変抵抗の消費電力を $R$ の式にし、最大値を求められる

前提

電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
電池の起電力と内部抵抗（高校物理電流と回路）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

内部抵抗 $r$ をもつ電池に可変抵抗 $R$ をつないだとき、 $R$ をいくらにすると $R$ での消費電力が最大になるか、またその最大値はいくらかを求められるようになります。消費電力を $R$ の式で表し、2次方程式の判別式を使って最大値を決めます。電池やスピーカー、太陽電池から負荷へできるだけ大きな電力を取り出したい場面で使われる考え方です。可変抵抗に別の抵抗が並列につながっている場合にも応用できます。

なぜそうしてよいのか

起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池に抵抗 $R$ をつなぐと、回路全体の抵抗は $R + r$ なので電流は $I = \frac{E}{R + r}$ です。 $R$ での消費電力は $P = R I^{2}$ より $P = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}} (R > 0)$ となります。 $R$ を小さくすると電流は大きくなりますが、 $R$ にかかる電圧が小さくなります。逆に $R$ を大きくすると電圧は $E$ に近づきますが、電流が小さくなります。どちらの極端でも $P$ は $0$ に近づくので、途中に $P$ が最大になる $R$ があるはずです。

その最大値は判別式で求められます。ある値 $P (> 0)$ になる $R$ が存在するとは、両辺に $(R + r)^{2}$ を掛けて整理した $R$ の2次方程式 $P R^{2} + (2 P r - E^{2}) R + P r^{2} = 0$ が実数解をもつということです。そのためには判別式が $D ≧ 0$ でなければなりません。 $D = (2 P r - E^{2})^{2} - 4 P^{2} r^{2} = E^{2} (E^{2} - 4 P r)$ なので、 $D ≧ 0$ から $P ≦ \frac{E ^{2}}{4 r}$ が得られます。つまり、消費電力はこれより大きくなれません。

$P = \frac{E ^{2}}{4 r}$ のときは $D = 0$ で、方程式は重解 $R = \frac{E ^{2} - 2 P r}{2 P} = \frac{E ^{2} /2}{E ^{2} / ( 2 r )} = r$ をもちます。 $R = r > 0$ は実際に選べる値なので、最大値 $\frac{E ^{2}}{4 r}$ は $R = r$ のときに実現します。

可変抵抗に抵抗 $R_{1}$ が並列につながっている場合も、考え方は同じです。並列部分の合成抵抗 $\frac{R R _{1}}{R + R _{1}}$ から電池の電流を求め、並列部分の電圧 $V$ を出して $P = \frac{V ^{2}}{R}$ とすると、 $P$ が $R$ の式になります。あとは同じように判別式を使えば最大値が求まります。

手順

回路全体の抵抗から電池を流れる電流を求める。直列だけなら $I = \frac{E}{R + r}$ 。並列部分があるときは、その合成抵抗（ $R$ と $R_{1}$ なら $\frac{R R _{1}}{R + R _{1}}$ ）を使う
可変抵抗 $R$ の消費電力 $P$ を $R$ の式で表す。直列だけなら $P = R I^{2} = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ 。並列のときは、並列部分の電圧 $V$ を求めて $P = \frac{V ^{2}}{R}$ とする
分母を払って $R$ について整理し、 $R$ の2次方程式 $a R^{2} + b R + c = 0$ の形にする（係数に $P$ を含む）
その $P$ になる $R$ が存在する条件として、判別式 $D = b^{2} - 4 a c ≧ 0$ を立て、 $P$ の範囲を求める。 $P$ の上限が最大値の候補になる
$P$ が上限の値になるとき（ $D = 0$ ）の重解 $R = - \frac{b}{2 a}$ を求め、 $R > 0$ であることを確かめる。直列だけなら $R = r$ で、最大値は $\frac{E ^{2}}{4 r}$ になる

例題

起電力 $6.0 V$ 、内部抵抗 $2.0 Ω$ の電池に可変抵抗 $R [Ω]$ をつなぐ。導線の抵抗は無視する。可変抵抗での消費電力が最大になるときの $R$ の値 $[Ω]$ と、そのときの消費電力 $[W]$ を、この順に有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1: 回路全体の抵抗は $R + 2.0$ なので、電流は $I = \frac{6.0}{R + 2.0}$ である。

手順2: 消費電力は $P = R I^{2} = \frac{36 R}{( R + 2 ) ^{2}} (R > 0)$ となる。

手順3: 両辺に $(R + 2)^{2}$ を掛けて整理すると、 $P (R^{2} + 4 R + 4) = 36 R$ より $P R^{2} + (4 P - 36) R + 4 P = 0$ となる。

手順4: $P > 0$ のとき、この方程式が実数解をもつ条件は $D ≧ 0$ である。 $D = (4 P - 36)^{2} - 4 \cdot P \cdot 4 P = 16 P^{2} - 288 P + 1296 - 16 P^{2} = 144 (9 - 2 P)$ なので、 $D ≧ 0$ より $P ≦ 4.5$ となる。

手順5: $P = 4.5$ のとき、方程式は $4.5 R^{2} - 18 R + 18 = 0$ 、すなわち $R^{2} - 4 R + 4 = 0$ となり、 $(R - 2)^{2} = 0$ から $R = 2$ を得る。これは $R > 0$ を満たすので、実際に選べる値である。公式 $R = r = 2.0 Ω$ 、 $\frac{E ^{2}}{4 r} = \frac{36}{8} = 4.5 W$ とも一致する。

したがって、 $R = 2.0 Ω$ のとき消費電力は最大値 $4.5 W$ をとる。

答え: $(2.0, 4.5)$

よくある誤り

電流が最大になる $R = 0$ で消費電力も最大になる、としてしまう誤り。正しくは、 $R = 0$ では $P = R I^{2} = 0 \cdot (\frac{E}{r})^{2} = 0$ であり、最大になるのは $R = r$ のとき。
$R$ での消費電力を $P = \frac{E ^{2}}{R}$ とし、 $R$ が小さいほど大きくなるとしてしまう誤り。 $R$ にかかる電圧は $E$ ではなく端子電圧 $V = E - r I = \frac{E R}{R + r}$ である。正しくは $P = \frac{V ^{2}}{R} = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ 。
判別式の条件 $D ≧ 0$ を $D > 0$ や $D ≦ 0$ としてしまう誤り。正しくは、その値の $P$ になる $R$ が存在する（実数解をもつ）条件なので $D ≧ 0$ である。そこから $P ≦ \frac{E ^{2}}{4 r}$ が得られ、等号は重解 $R = r$ のときに成り立つ。
可変抵抗に抵抗 $R_{1}$ が並列につながっているのに、そのまま $R = r$ としてしまう誤り。正しくは、並列部分の電圧 $V = \frac{E R R _{1}}{r ( R + R _{1} ) + R R _{1}}$ から $P = \frac{V ^{2}}{R} = \frac{E ^{2} R _{1}^{2} R}{{( r + R _{1} ) R + r R _{1} } ^{2}}$ を作って判別式を使う。すると最大になるのは $R = \frac{r R _{1}}{r + R _{1}}$ のときになる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池がある。抵抗値 $2 r$ の抵抗 $P$ と、抵抗値 $R$ を自由に変えられる可変抵抗 $Q$ を並列に接続し、この並列部分の両端を電池の正極と負極につないだ。
$R$ をいろいろに変えたとき、可変抵抗 $Q$ で消費される電力の最大値を、 $E$ , $r$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗は無視でき、抵抗 $P$ の抵抗値と電池の起電力・内部抵抗は一定とする。
$E$ $r$ 電池 $P (2 r)$ $Q (R)$

この技能の次に学べること

交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力（高校物理電磁気と交流）
最大電力供給の定理（大学物理電気回路）