最大電力供給の定理

テブナン等価回路から、負荷抵抗 $R_{L} = R_{th}$ のとき負荷の消費電力が最大になり、その値が $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ であることを使って、ブリッジ回路や電流源を含む回路の最大電力と最適な負荷抵抗を求められる

前提

テブナンの定理とノートンの定理（大学物理電気回路）
消費電力の最大（高校物理電流と回路）

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算数中学高校大学大学院

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消費電力の最大（高校物理電流と回路）

説明

電源を含む回路のある 2 端子に負荷抵抗 $R_{L}$ をつなぐとき、 $R_{L}$ をいくらにすれば負荷に最も大きな電力を送れるかを求める技能です。端子から見た回路をテブナン等価回路（開放電圧 $V_{oc}$ と内部抵抗 $R_{th}$ の直列）に置き換えると、どんなに複雑な回路でも「内部抵抗のある電池に可変抵抗をつなぐ」問題になり、 $R_{L} = R_{th}$ のとき最大電力 $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ が得られます。スピーカーやアンテナなど、電源側が決まっていて負荷を選ぶ場面（整合）で使います。

なぜそうしてよいのか

テブナンの定理により、端子 a, b から見た回路は、外につなぐものが何であっても「起電力 $V_{oc}$ 、内部抵抗 $R_{th}$ の電池」と同じ電流・電圧を与えます。したがって負荷 $R_{L}$ を流れる電流は $I = \frac{V _{oc}}{R _{th} + R _{L}}$ で、負荷の消費電力は
$P = I^{2} R_{L} = \frac{V _{oc}^{2} R _{L}}{( R _{th} + R _{L} ) ^{2}}$
です。これは「内部抵抗 $r$ の電池につないだ可変抵抗の消費電力」と全く同じ式なので、同じ方法で最大値が求められます。例えば分母分子を $R_{L}$ で割ると $P = \frac{V _{oc}^{2}}{R _{L} + 2 R _{th} + \frac{R _{th}^{2}}{R _{L}}}$ で、
$R_{L} + \frac{R _{th}^{2}}{R _{L}} - 2 R_{th} = \frac{( R _{L} - R _{th} ) ^{2}}{R _{L}} \geq 0$
より分母は $R_{L} = R_{th}$ で最小値 $4 R_{th}$ をとります。よって $P$ は $R_{L} = R_{th}$ で最大になり、 $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ です。

直観的には、 $R_{L}$ が小さすぎると電流は大きくても負荷にかかる電圧が小さく、 $R_{L}$ が大きすぎると電圧は大きくても電流が小さいので、その間にちょうどよい値があります。注意したいのは、これは「電源側（ $V_{oc}$ , $R_{th}$ ）が決まっていて、負荷 $R_{L}$ を選ぶ」ときの結論だということです。また、等価回路の $R_{th}$ での消費電力が元の回路の内部の消費電力と等しいとは限らないので、等価回路は端子から外の量（負荷の電流・電圧・電力）を求めるためだけに使います。

手順

負荷をつなぐ端子 a, b を決め、負荷を取り外す
端子を開放したときの電圧 $V_{oc}$ を求める（分圧、重ね合わせの理、節点解析などを使う）
独立電源を休ませ（電圧源は短絡、電流源は開放）、端子 a, b から見た合成抵抗 $R_{th}$ を求める
最適な負荷は $R_{L} = R_{th}$ 、そのときの最大電力は $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ （ノートン等価回路の $I_{sc}$ を使うなら $\frac{I _{sc}^{2} R _{th}}{4}$ ）

例題

節点 q を基準（電位 0 V）とする直流回路がある。節点 p と節点 q の間に起電力 $24 V$ の理想電圧源があり、節点 p の側が高電位である。節点 p と節点 c の間に $4 Ω$ 、節点 c と節点 q の間に $12 Ω$ 、節点 p と節点 d の間に $6 Ω$ 、節点 d と節点 q の間に $6 Ω$ の抵抗がある。節点 c と節点 d の間に可変の負荷抵抗 $R_{L}$ をつなぐ。 $R_{L}$ の消費電力が最大になるときの $R_{L}$ の値（単位は $Ω$ ）と、そのときの消費電力（単位は W）を、この順に求めよ。

例題の解答

手順 1: 負荷 $R_{L}$ を外し、端子を c, d とする。

手順 2（開放電圧）: 負荷を外すと左右の枝は独立に $24 V$ がかかる。分圧より
$V_{c} = 24 \times \frac{12}{4 + 12} = 18 V, V_{d} = 24 \times \frac{6}{6 + 6} = 12 V$
よって $V_{oc} = V_{c} - V_{d} = 6 V$ （c 側が高電位）。

手順 3（内部抵抗）: 電圧源を短絡すると節点 p と q が同じ点になる。c から見ると $4 Ω$ と $12 Ω$ が並列で $\frac{4 \times 12}{16} = 3 Ω$ 、d から見ると $6 Ω$ と $6 Ω$ が並列で $3 Ω$ 。これらが p(=q) を介して直列につながるので $R_{th} = 3 + 3 = 6 Ω$ 。

手順 4: $R_{L} = R_{th} = 6 Ω$ のとき最大で
$P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} W$

よって答えは $(6, \frac{3}{2})$ 。

答え: $(6, \frac{3}{2})$

よくある誤り

最大電力を $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{R _{th}}$ としてしまう誤り。 $R_{L} = R_{th}$ のとき電流は $\frac{V _{oc}}{2 R _{th}}$ 、負荷の電圧は $\frac{V _{oc}}{2}$ なので、正しくは $P_{m a x} = \frac{V _{oc}}{2} \cdot \frac{V _{oc}}{2 R _{th}} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ （例題では $6 W$ ではなく $\frac{3}{2} W$ ）
ブリッジ回路で $R_{th}$ を求めるとき、電源を短絡したあとのつながりを誤る誤り。例題で $4 Ω$ と $6 Ω$ 、 $12 Ω$ と $6 Ω$ をそれぞれ直列にして $10 ∥ 18$ とするのは誤り。p と q が 1 点になるので、正しくは $(4 ∥ 12) + (6 ∥ 6) = 3 + 3 = 6 Ω$
負荷が固定で電源側の内部抵抗を選べる場合にも $R_{th} = R_{L}$ が最適としてしまう誤り。 $P = \frac{V _{oc}^{2} R _{L}}{( R _{th} + R _{L} ) ^{2}}$ は $R_{L}$ を固定すると $R_{th}$ が小さいほど大きく、 $R_{th} = 0$ で最大になる。 $R_{L} = R_{th}$ は「電源側が決まっていて負荷を選ぶ」ときの条件
最大電力のとき効率も最大と考えてしまう誤り。等価回路で見ると $R_{L} = R_{th}$ では負荷と $R_{th}$ に同じ電流が流れ同じ電力を消費するので、効率 $\frac{R _{L}}{R _{th} + R _{L}}$ は $\frac{1}{2}$ にすぎない。効率は $R_{L}$ を大きくするほど 1 に近づく

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
起電力 $24 V$ の直流電圧源（内部抵抗は無視できる）、抵抗 $R_{1} = 6 Ω$ 、抵抗 $R_{2} = 12 Ω$ からなる回路がある。電圧源の正極に $R_{1}$ の一端をつなぎ、 $R_{1}$ の他端を端子 a とする。 $R_{2}$ は端子 a と電圧源の負極の間につなぎ、電圧源の負極を端子 b とする。
端子 a, b の間に負荷抵抗 $R_{L}$ （可変）をつなぐ。 $R_{L}$ の値を変えたとき、 $R_{L}$ で消費される電力の最大値は何 W か。整数で答えよ。
ab24 V $R_{1}$ （6 Ω） $R_{2}$ （12 Ω） $R_{L}$

最大電力供給の定理

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題