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電気回路の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理電気回路

起電力 $24 V$ の直流電圧源（内部抵抗は無視できる）、抵抗 $R_{1} = 6 Ω$ 、抵抗 $R_{2} = 12 Ω$ からなる回路がある。電圧源の正極に $R_{1}$ の一端をつなぎ、 $R_{1}$ の他端を端子 a とする。 $R_{2}$ は端子 a と電圧源の負極の間につなぎ、電圧源の負極を端子 b とする。

端子 a, b の間に負荷抵抗 $R_{L}$ （可変）をつなぐ。 $R_{L}$ の値を変えたとき、 $R_{L}$ で消費される電力の最大値は何 W か。整数で答えよ。

ab24 V

R_{1}

（6 Ω）

R_{2}

（12 Ω）

R_{L}

この問題で使うもの

最大電力供給の定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

最大電力供給の定理を使う。まず端子 a, b から見たテブナン等価回路（開放電圧 $V_{oc}$ とテブナン抵抗 $R_{th}$ ）を求める。

ヒント 2

$V_{oc}$ は $R_{2}$ にかかる電圧（分圧）、 $R_{th}$ は電圧源を短絡したときの $R_{1}$ と $R_{2}$ の並列合成抵抗。最大電力は $P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}}$ 。

ヒント 3

$V_{oc} = 24 \times \frac{12}{6 + 12} = 16 V$ 、 $R_{th} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 Ω$ となる。あとは公式に代入する。

答えと解説

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16

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解説を読む

手順 1: 端子 a, b から見たテブナン等価回路を求める。

開放電圧 $V_{oc}$ は、負荷を外したときの端子 a, b 間の電圧である。このとき $R_{1}$ と $R_{2}$ は直列で、電流 $I = \frac{24}{6 + 12} = \frac{4}{3} A$ が流れるので、
$V_{oc} = R_{2} I = 12 \times \frac{4}{3} = 16 V$

テブナン抵抗 $R_{th}$ は、電圧源を短絡して端子 a, b から見た抵抗である。 $R_{1}$ と $R_{2}$ が並列になるので、
$R_{th} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 Ω$

手順 2: 最大電力供給の定理を使う。

負荷抵抗の消費電力は $R_{L} = R_{th} = 4 Ω$ のとき最大になり、その値は
$P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}} = \frac{1 6 ^{2}}{4 \times 4} = \frac{256}{16} = 16 W$

（確認: $R_{L} = 4 Ω$ のとき電流は $\frac{16}{4 + 4} = 2 A$ 、電力は $4 \times 2^{2} = 16 W$ 。）

よって最大電力は $16 W$ である。

別解

端子 a-b から見たテブナン等価回路を求める。
開放電圧（ $R_{L}$ なし）: 電圧源 → $R_{1}$ → $R_{2}$ の直列で、 $R_{2}$ の両端が a-b なので
$V_{oc} = 24 \times \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 24 \times \frac{12}{18} = 16 V .$
内部抵抗（電圧源を短絡）: $R_{1}$ と $R_{2}$ の並列で
$R_{th} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 Ω.$
$R_{L}$ で消費される電力は $P = (\frac{V _{oc}}{R _{th} + R _{L}})^{2} R_{L}$ で、 $R_{L} = R_{th} = 4 Ω$ のとき最大となり（最大電力伝達）
$P_{m a x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{th}} = \frac{1 6 ^{2}}{4 \times 4} = 16 W .$

検算: $R_{L} = 4 Ω$ のとき電流は $16/ (4 + 4) = 2$ A、 $P = 2^{2} \times 4 = 16$ W。 $R_{L} = 2 Ω$ では $I = 16/6 = 8/3$ A、 $P = (64/9) \times 2 \approx 14.2$ W、 $R_{L} = 8 Ω$ では $I = 16/12 = 4/3$ A、 $P = (16/9) \times 8 \approx 14.2$ W でいずれも 16 W より小さい。

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