重ね合わせの理

複数の独立電源を含む線形回路で、電源を 1 つずつ残し（他の電圧源は短絡、電流源は開放）て求めた応答を足し合わせ、特定の枝の電流や節点の電位を求められる

前提

節点解析（大学物理電気回路）

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算数中学高校大学大学院

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節点解析（大学物理電気回路）

説明

抵抗と複数の独立電源（電圧源・電流源）からなる線形回路では、各電源が 1 つだけあるときの応答（枝の電流や節点の電位）を別々に求め、それらを足し合わせると、全部の電源があるときの応答になります。これを重ね合わせの理といいます。電源が多い回路を、電源 1 つだけの簡単な回路（直列・並列の計算で済むことが多い）の組に分けて解きたいときや、ある電源が応答にどれだけ寄与しているかを知りたいときに使います。

なぜそうしてよいのか

節点解析を思い出しましょう。抵抗だけからなる回路で、各節点でキルヒホッフの電流則を立てると、未知の節点電位 $V_{1}, \dots, V_{n}$ について $\sum_{j} G_{ij} V_{j} = J_{i}$ という連立 1 次方程式が得られます。左辺の係数 $G_{ij}$ は抵抗（コンダクタンス）だけで決まり、右辺 $J_{i}$ は電流源の電流や電圧源の起電力にそれぞれ定数をかけて足したもの（つまり電源の値について 1 次式）になります。行列で書けば $G V = J$ で、解は $V = G^{- 1} J$ です。

ここで右辺を $J = J^{(1)} + J^{(2)}$ と「電源 1 の分」と「電源 2 の分」に分けると、 $V = G^{- 1} J^{(1)} + G^{- 1} J^{(2)}$ となります。 $G^{- 1} J^{(1)}$ は「電源 2 の値を 0 にした回路」の解、 $G^{- 1} J^{(2)}$ は「電源 1 の値を 0 にした回路」の解です。係数行列 $G$ は抵抗だけで決まるので、どちらの回路でも同じです。だから、電源ごとの解を足せば元の解になります。枝の電流も節点電位の差を抵抗で割ったもの（1 次式）なので、同じように足し合わせられます。

「電源の値を 0 にする」とは、電圧源なら起電力 0 V、すなわち両端の電位差が常に 0 の導線（短絡）に置き換えること、電流源なら電流 0 A、すなわち電流が流れない切れ目（開放）に置き換えることです。抵抗はそのまま残します。なお、この議論は方程式が 1 次式であることだけを使っているので、足せるのは電圧と電流です。電力 $R I^{2}$ は電流の 2 乗なので、電源ごとの電力を足しても正しい電力にはなりません。

手順

求めたい量（ある枝の電流ならその向き、ある節点の電位なら基準節点）を決め、正の向きを図に書き込む
独立電源を 1 つだけ選び、それ以外の電圧源は短絡（導線）に、電流源は開放（取り外す）に置き換える。抵抗はすべて残す
電源 1 つだけになった回路で、合成抵抗・分圧・分流（または節点解析）を使い、求めたい量を手順 1 で決めた向きで求める（符号に注意）
手順 2〜3 をすべての独立電源について 1 つずつくり返す
得られた値を符号つきで足し合わせる: $x = x^{(1)} + x^{(2)} + \dots$

例題

節点 0 を基準（電位 0 V）とする直流回路がある。節点 a と節点 0 の間に起電力 $12 V$ の理想電圧源があり、節点 a の側が高電位である。節点 a と節点 1 の間に $4 Ω$ の抵抗、節点 1 と節点 0 の間に $2 Ω$ の抵抗がある。さらに、節点 0 から節点 1 へ向かって $3 A$ の電流を流し込む理想電流源が節点 0 と節点 1 の間にある。重ね合わせの理を用いて、節点 1 の電位を求めよ（単位は V）。

例題の解答

手順 1: 求める量は節点 1 の電位 $V_{1}$ （基準は節点 0）。

手順 2・3（電圧源だけを残す）: 電流源を開放にすると、回路は $12 V$ の電圧源に $4 Ω$ と $2 Ω$ が直列につながったものになる。 $2 Ω$ にかかる電圧が $V_{1}$ なので、分圧より
$V_{1}^{(1)} = 12 \times \frac{2}{4 + 2} = 4 V$

手順 4（電流源だけを残す）: 電圧源を短絡にすると節点 a は節点 0 と同じ電位になり、 $4 Ω$ と $2 Ω$ はどちらも節点 1 と節点 0 の間にある並列接続になる。合成抵抗は $\frac{4 \times 2}{4 + 2} = \frac{4}{3} Ω$ 。電流源の $3 A$ は節点 1 に流れ込み、この合成抵抗を通って節点 0 に戻るので
$V_{1}^{(2)} = 3 \times \frac{4}{3} = 4 V$

手順 5: 足し合わせて $V_{1} = V_{1}^{(1)} + V_{1}^{(2)} = 4 + 4 = 8 V$ 。

（確かめ: 節点解析で節点 1 の電流則を立てると $\frac{V _{1} - 12}{4} + \frac{V _{1}}{2} = 3$ より $3 V_{1} = 24$ 、 $V_{1} = 8$ となり一致する。）

答え: $8$

よくある誤り

休ませる電圧源を開放にしてしまう誤り。正しくは起電力を 0 にするので短絡（導線）に置き換える。逆に電流源は短絡ではなく開放にする。例題で電圧源を開放にすると電流源だけの回路で $V_{1}^{(2)} = 3 \times 2 = 6 V$ となり、誤った答え $10 V$ が出る
電源ごとの電力を足し合わせてしまう誤り。電力 $P = R I^{2}$ は電流の 1 次式ではないので、 $R (I^{(1)})^{2} + R (I^{(2)})^{2}$ は一般に正しい電力ではない。正しくは、先に電流を $I = I^{(1)} + I^{(2)}$ と足してから $P = R (I^{(1)} + I^{(2)})^{2}$ を計算する
各電源での電流の向きをそろえずに大きさだけを足してしまう誤り。例えば、ある枝で電源 1 による電流が右向き $2 A$ 、電源 2 による電流が左向き $0.5 A$ なら、右向きを正として $I = 2 + (- 0.5) = 1.5 A$ とする（ $2.5 A$ ではない）
休ませた電源の内部抵抗まで取り除いてしまう誤り。内部抵抗 $r$ をもつ電池を休ませるときは、起電力だけを 0 にして $r$ は回路に残す（理想電圧源の部分だけを短絡にする）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次のような直流回路がある。節点は a, b, O の 3 つである。
- 起電力 $E = 9 V$ の理想的な電圧源が O と a の間にあり、a の側が正極である
- 抵抗 $R_{1} = 3 Ω$ が a と b の間にある
- 抵抗 $R_{2} = 6 Ω$ が b と O の間にある
- 大きさ $J = 1 A$ の理想的な電流源が O と b の間にあり、O から b に向かって（節点 b に流れこむ向きに）電流を流す
導線の抵抗は無視する。重ね合わせの理を用いて、抵抗 $R_{2}$ を b から O の向きに流れる電流は何 A か求めよ。答えは既約分数で書け。
$a$ $b$ $O$ $E = 9 V$ $R_{1} = 3 Ω$ $R_{2} = 6 Ω$ $J = 1 A$
電流源は O から b の向きに電流を流す

この技能の次に学べること

テブナンの定理とノートンの定理（大学物理電気回路）