次のような直流回路がある。節点は a, b, O の 3 つで、O を基準節点（電位 ）とする。
- 起電力 の理想的な電圧源が O と a の間にあり、a の側が正極である（内部抵抗は無視する）
- 抵抗 が a と b の間にある
- 抵抗 が b と O の間にある
- 大きさ の理想的な電流源が O と b の間にあり、O から b に向かって（回路の外側を通って節点 b に流れこむ向きに）電流を流す
導線の抵抗は無視する。節点解析を用いて、節点 b の電位 は何 V か求めよ。
節点解析
基準節点を決めて各節点の電位を未知数にとり、各節点でキルヒホッフの電流則（コンダクタンス と電流源の和が 0）を立てて連立方程式を解き、電圧源・電流源を含む直流回路の節点電位と各枝の電流を求められる
前提
- キルヒホッフの法則 （高校物理 電流と回路）
- 掃き出し法と連立 1 次方程式 （大学数学 線形代数）
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- 掃き出し法と連立 1 次方程式 （大学数学 線形代数）
説明
節点解析は、回路の節点（導線どうしがつながる点）の電位を未知数にとり、各節点で「流れ出す電流の和 」という式を立てて回路を解く方法です。1 つの節点を基準（電位 0）に決めると、未知数は残りの節点の電位だけになり、枝ごとの電流を未知数にするキルヒホッフの方法より未知数が少なくて済むことが多くあります。電圧源と電流源を含む直流回路で、各節点の電位と各枝を流れる電流を、連立 1 次方程式を解くだけで機械的に求められます。
なぜそうしてよいのか
電位を未知数にすると第 2 法則が自動的に満たされる。 各節点に電位 を割り当てると、どの閉回路をひと回りしても電位差の和は となります。これはキルヒホッフの第 2 法則そのものなので、電位を未知数にとった時点で第 2 法則は式を立てなくても成り立っています。残る条件は第 1 法則（電流の保存）だけで、それを各節点で書けばよいのです。
枝の電流は電位差とコンダクタンスで書ける。 節点 と の間に抵抗 があれば、オームの法則から から へ流れる電流は です（ をコンダクタンスという）。節点 から流れ出す電流の和が 0 という条件は
となります。どの枝についても「自分の電位 − 相手の電位」の向き、つまり流れ出す向きにそろえて書くのがこつです。
電圧源の扱い。 電圧源の一端が基準節点につながっていれば、もう一端の電位は起電力の値に決まり、未知数ではなくなります（その節点では式を立てない。電圧源を流れる電流は未知なので式が立てられないが、電位がわかっているので不要）。基準節点につながらない電圧源がある場合は、その両端の 2 節点をまとめて 1 つの大きな節点（スーパー節点）とみなし、そこから流れ出す電流の和 と、両端の電位差 起電力の 2 式を使います。こうして、未知の電位の数と同じ本数の 1 次方程式が得られます。
手順
基準節点（電位 0、多くは接地点や多くの素子がつながる点）を決め、ほかの各節点に電位 を割り当てる
基準節点と電圧源でつながった節点は、電位を起電力の値に決めて未知数から外す（基準につながらない電圧源は両端をまとめてスーパー節点にする）
残りの各節点で、流れ出す電流の和 を立てる：（、電流源から流れ込む電流を とする）
得られた連立 1 次方程式を、係数を整数にそろえてから消去法や掃き出し法で解く
求めた電位から、各枝の電流 を計算する。電流の符号から実際の向きを読みとる
例題
節点 0（基準節点、電位 0）、A、1、2 からなる直流回路がある。節点 A と節点 0 の間に起電力 の理想電圧源があり、A 側が高電位である。抵抗は、A と 1 の間に 、1 と 0 の間に 、1 と 2 の間に 、2 と 0 の間に がつながっている。さらに、節点 0 から節点 2 へ向かって を流す理想電流源が 0 と 2 の間にある。節点 1 と節点 2 の電位 （単位 V）を、この順に組で求めよ。
例題の解答
手順 1（基準と未知数）：節点 0 を基準（電位 0）にし、節点 1、2 の電位を とおく。
手順 2（電圧源）：電圧源の一端が基準節点なので と決まり、A では式を立てない。
手順 3（各節点の電流則）：流れ出す向きにそろえて書く。
節点 1：
節点 2：（電流源から が流れ込むので ）
手順 4（連立方程式を解く）：節点 1 の式を 6 倍、節点 2 の式を 4 倍して整理すると
2 式を足して 、。これを 2 番目の式に代入して 、。
手順 5（確認）：枝の電流は A→1 が 、2→1 が 、1→0 が で、節点 1 では流入 と流出 が等しい。節点 2 でも流入 と流出 が等しい。よって 。
答え:
よくある誤り
枝ごとに向きをばらばらにとり、節点 1 の式で のように 1 項だけ流れ込む向きで書いてしまう誤り。1 つの節点の式ではすべて「自分 − 相手」の流れ出す向きにそろえ、正しくは
電流源の符号を逆にして、節点 2 の式を としてしまう誤り。流れ出す電流の和 の式では、節点に流れ込む電流源の電流はマイナスで入るので、正しくは
電圧源につながった節点 A でも電流則を立て、電圧源を流れる電流を書き落として のような式を加えてしまう誤り。電圧源を流れる電流は未知なので、その節点の式は立てず、正しくは と電位を決めるだけにする
電流の向きを表す に抵抗値 を掛けて としてしまう誤り。オームの法則から正しくは
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
4 つの節点 , , , をもつ次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、内部抵抗の無視できる起電力 の理想電圧源がある。 の側が正極である。
- 節点 と の間に、抵抗 がある。
- 節点 と の間に、抵抗 がある。
- 節点 と の間に、抵抗 がある。
- 節点 と の間に、抵抗 がある。
- 節点 と の間に、抵抗 と並列に、大きさ の理想電流源がある。電流源の内部を電流は から の向きに流れる（電流源は節点 に の電流を流し込む）。
導線の抵抗は無視できる。このとき、 の電圧源が回路に供給する電力は何 か。電圧源が電力を消費する場合は負の値で答えよ。
節点 , , と端子 , をもつ直流回路を考える。端子 は節点 と導線でつながっている。素子は次のようにつながれている。
- 起電力 の理想電圧源（内部抵抗なし）: 正極を 、負極を につなぐ
- 抵抗 : と の間
- 抵抗 : と の間
- 電流 の理想電流源（内部コンダクタンスなし）: と の間につなぎ、電流源の内部を から の向きに電流 を流す
- 抵抗 : と端子 の間
端子 , の間に抵抗値を自由に変えられる負荷抵抗 をつなぐ。 を調整したとき、 で消費される電力の最大値は何 W か。分数で正確に答えよ。導線の抵抗は無視する。
4 つの節点 , , , をもつ次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、内部抵抗の無視できる起電力 の電池（ 側が正極）
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に、 から の向きに一定の電流 を流す理想電流源
回路が定常状態にあるとき、電池が回路に供給する電力（単位 ）を求めよ。
入力端子対 - と出力端子対 - をもつ二端子対回路 （橋絡 T 形回路）を、次のように 4 つの抵抗で作る。端子 と端子 は導線で直接つながれている。内部の節点を とする。
- 端子 と節点 の間に抵抗
- 節点 と端子 の間に抵抗
- 節点 と端子 （）の間に抵抗
- 端子 と端子 の間に抵抗
入力側には、起電力 、内部抵抗 の直流電源を、正極が端子 側になるようにつなぐ（電源と は直列で、端子 と の間に入る）。出力側には、端子 と の間に負荷抵抗 をつなぐ。導線の抵抗は無視できるものとする。
の Z パラメータ（端子電流はいずれも端子 , から回路 に流れ込む向きを正とする）を用いて、負荷抵抗 で消費される電力（単位は ）を既約分数で求めよ。
節点 , , , をもつ次の回路を考える。素子はすべて理想的とし、導線の抵抗は無視する。
- 節点 と の間に、内部抵抗の無視できる起電力 の直流電源がある（ 側が高電位）。
- 節点 と の間に、スイッチ と抵抗値 の抵抗が直列につながれている。
- 節点 と の間に、静電容量 のコンデンサーがある。
- 節点 と の間に、自己インダクタンス のコイルがある。
- 節点 と の間に、抵抗値 の抵抗がある。
時刻 ではスイッチ は開いており、コンデンサーは帯電しておらず、コイルに電流は流れていない。時刻 に を閉じる。コイルを から の向きに流れる電流を とする。
ラプラス変換を用いて を求め、 における の最大値を、単位を として正確な値で求めよ。
S節点 , , , をもつ次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、起電力 の理想電圧源（内部抵抗は無視できる）があり、正極が 側である。
- 節点 と の間に の抵抗がある。
- 節点 と の間に の抵抗がある。
- 節点 と の間に、起電力 の理想電圧源（内部抵抗は無視できる）があり、正極が 側である。
- 節点 と の間に の抵抗がある。
- 節点 と の間に の抵抗がある。
- 節点 と の間に、電流源の内部を から の向きに の電流を流す理想電流源がある。
導線の抵抗は無視できるものとする。このとき、起電力 の電圧源が回路に供給する電力は何 か。整数で答えよ（電圧源が電力を吸収する場合は負の値で答える）。
4 つの節点 , , , をもつ直流回路を考える。起電力 、内部抵抗 の電池が、正極を 側、負極を 側にして - 間に接続されている（内部抵抗は起電力と直列とみなす）。さらに、- 間に 、- 間に 、- 間に 、- 間に の抵抗が接続されている。
- 間に抵抗値 の負荷抵抗をつなぐ。 を変化させたとき、負荷抵抗で消費される電力が最大になる の値（単位 ）と、そのときの消費電力の最大値（単位 ）を、この順に組 で、分数を用いた正確な値で求めよ。導線の抵抗は無視する。
4 つの節点 , , , をもつ次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、起電力 、内部抵抗の無視できる直流電源がある。正極は 側である
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に抵抗
- 節点 と の間に、 と並列に電流制御電流源がある。この電流源は、 を から の向きに流れる電流を として、自身の内部を から の向きに大きさ の電流を流す（ が負のときは逆向きに流れる）
導線の抵抗は無視できるものとする。回路が定常状態にあるとき、電流制御電流源が回路に供給する電力（単位は 。電力を消費する場合は負の値とする）を求めよ。
5 つの節点 , , , , をもつ次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、起電力 の直流電源（正極が 側）
- 節点 と の間に、抵抗
- 節点 と の間に、抵抗
- 節点 と の間に、抵抗
- 節点 と の間に、抵抗
- 節点 と の間に、抵抗
- 節点 と の間に、起電力 の直流電源（正極が 側）
2 つの電源の内部抵抗と導線の抵抗は無視できる。回路が定常状態にあるとき、電源 が回路の残りの部分に供給する電力を とする（ が電力を受け取る場合は とする）。 は何 か。分数で答えよ。
4 つの節点 , , , をもつ、従属電源を含む次の直流回路を考える。
- 節点 と の間に、内部抵抗の無視できる起電力 の直流電源をつなぐ。 側が正極である。
- 節点 と の間に の抵抗をつなぐ。
- 節点 と の間に の抵抗をつなぐ。この抵抗を から の向きに流れる電流を とする。
- 節点 と の間に の抵抗をつなぐ。
- 節点 と の間に の抵抗をつなぐ。
- 節点 と の間に、電流制御電流源をつなぐ。この電流源は、両端の電圧によらず、大きさ の電流を電流源の内部で から の向きに流す（ が負のときは逆向きに を流す）。
回路は定常状態にあり、導線の抵抗は無視できる。このとき、電流制御電流源が回路に供給する電力は何 か。整数で求めよ。
この技能の次に学べること
- 重ね合わせの理 （大学物理 電気回路）
- 従属電源を含む回路 （大学物理 電気回路）
- 二端子対回路の Z パラメータと Y パラメータ （大学物理 電気回路）