電気回路の問題

初期条件 $t<0$ でコンデンサーの電圧もコイルの電流も $0$ なので、$v_C(0)=0$, $i_L(0)=0$ である（コンデンサーの電圧とコイルの電流は連続に変化する）。したがって $s$ 領域の回路には初期値による電源が現れず、各素子のインピーダンスは $R_1$, $\frac{1}{sC}$, $sL$, $R_2$ となる。電源は $t\ge 0$ で一定値 $E$ なので、そのラプラス変換は $\frac{E}{s}$ である。

節点方程式 節点 $\mathrm{G}$ を基準とし、節点 $\mathrm{B}$ の電位のラプラス変換を $V_B(s)$、$i_L$ のラプラス変換を $I_L(s)$ とする。$\mathrm{B}$ から $\mathrm{D}$、$\mathrm{G}$ へのコイルと $R_2$ の直列の枝について
$$V_B=(R_2+sL)I_L(1)$$
節点 $\mathrm{B}$ でのキルヒホッフの電流則より
$$\frac{V_B-\frac{E}{s}}{R_1}+sC{V}_B+I_L=0(2)$$
$(1)$ を $(2)$ に代入して $R_1$ をかけると
$$I_L\left[(R_2+sL)(1+s{R}_{1}C)+R_1\right]=\frac{E}{s}$$
よって
$$I_L(s)=\frac{E}{s\left[L{R}_{1}C{s}^2+(L+R_1{R}_{2}C)s+R_1+R_2\right]}$$

数値を代入 $L{R}_{1}C=0.10\times 10\times 1.0\times 10^{-3}=1.0\times 10^{-3}$, $L+R_1{R}_{2}C=0.10+100\times 1.0\times 10^{-3}=0.20$, $R_1+R_2=20$ より
$$I_L(s)=\frac{12}{s(10^{-3}{s}^2+0.20s+20)}=\frac{12000}{s(s^2+200s+20000)}=\frac{12000}{s\left[(s+100{)}^2+100^2\right]}$$
極は $s=0$, $s=-100\pm 100j$ である。

部分分数分解
$$\frac{12000}{s(s^2+200s+20000)}=\frac{a}{s}+\frac{bs+d}{s^2+200s+20000}$$
とおくと $12000=a(s^2+200s+20000)+(bs+d)s$。定数項から $a=0.6$、$s^2$ の係数から $a+b=0$ より $b=-0.6$、$s$ の係数から $200a+d=0$ より $d=-120$。よって
$$I_L(s)=\frac{0.6}{s}-0.6\cdot \frac{(s+100)+100}{(s+100{)}^2+100^2}$$

逆ラプラス変換 ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\right]=e^{-\alpha t}\cos \omega t$, ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\right]=e^{-\alpha t}\sin \omega t$ を用いて
$$i_L(t)=0.6\left[1-e^{-100t}\left(\cos 100t+\sin 100t\right)\right]\mathrm{A}(t\ge 0)$$
（確認: $i_L(0)=0$、$t\to \infty$ で $\frac{E}{R_1+R_2}=0.6\mathrm{A}$ となり、定常状態と一致する。）

最大値
$$\frac{d}{dt}\left[e^{-100t}(\cos 100t+\sin 100t)\right]=e^{-100t}\left[-100(\cos 100t+\sin 100t)+100(\cos 100t-\sin 100t)\right]=-200e^{-100t}\sin 100t$$
より
$$\frac{d{i}_L}{dt}=120e^{-100t}\sin 100t$$
$\frac{d{i}_L}{dt}$ の符号は $\sin 100t$ の符号と同じなので、$i_L$ は $t=\frac{(2k-1)\pi }{100}$（$k=1,2,\dots$）で極大となり、そのとき $\cos 100t=-1$, $\sin 100t=0$ なので
$$i_L=0.6\left(1+e^{-(2k-1)\pi }\right)$$
これは $k$ が大きいほど小さく、$t\to \infty$ での値 $0.6$ より大きい。よって最大値は $k=1$、すなわち $t=\frac{\pi }{100}\mathrm{s}$ のときで
$$i_{L,\max }=\frac{3}{5}\left(1+e^{-\pi }\right)\mathrm{A}(\approx 0.626\mathrm{A})$$

節点 B の電圧を $v$ とし、ラプラス変換で解く（初期条件は $v(0)=0,i_L(0)=0$）。

コイルと $R_2$ の直列部分より $V(s)=(sL+R_2)I_L(s)=(0.1s+10)I_L$。

節点 B での電流の式は $\frac{E/s-V}{R_1}=sCV+I_L$。

数値を入れると $\frac{1.2}{s}=V(0.1+0.001s)+I_L$ となる。

$V$ に上の式を代入して整理すると $\frac{1.2}{s}=I_L\left[(0.1s+10)(0.1+0.001s)+1\right]=I_L(10^{-4}{s}^2+0.02s+2)$。

よって $I_L(s)=\frac{12000}{s(s^2+200s+20000)}=0.6\left[\frac{1}{s}-\frac{s+200}{(s+100{)}^2+100^2}\right]$。

逆変換すると $i_L(t)=0.6\left[1-e^{-100t}(\cos 100t+\sin 100t)\right]$（$t>0$）。極は $-100\pm 100i$ なので減衰振動である。

微分すると $\frac{d}{dt}\left[e^{-100t}(\cos 100t+\sin 100t)\right]=-200e^{-100t}\sin 100t$ なので、$i_L^{\prime }(t)=120e^{-100t}\sin 100t$。

$i_L^{\prime }=0$ となるのは $100t=n\pi$ のときで、最初の極大は $t=\pi /100$。以降の極大は $e^{-100t}$ により小さくなる。

$t=\pi /100$ で $\cos \pi =-1,\sin \pi =0$ だから $i_L=0.6(1+e^{-\pi })$。

検算：定常値は $12/(10+10)=0.6\mathrm{A}$ で、$t\to \infty$ の極限と一致する。また $i_L(0)=0.6[1-1]=0$ で、初期条件とも一致する。

最大値は $\frac{3}{5}(1+e^{-\pi })\approx 0.626\mathrm{A}$。