ラプラス変換による微分方程式の解法

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)](s)$ とおき、ラプラス変換を用いてこの初期値問題を解け。$t\geqq 0$ における $y(t)$ を $t$ の式で答えよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+4y(t)=4(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=2$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ として、ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+4y(t)=8(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }(t)-2y(t)=4(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=4e^{3t},y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

内部抵抗の無視できる起電力 $E=12\mathrm{V}$ の直流電源、スイッチ $\mathrm{S}$、抵抗値 $R=2\mathrm{k\Omega }$ の抵抗、静電容量 $C=50\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを、電源の正極 $\to$ $\mathrm{S}$ $\to$ 抵抗 $\to$ コンデンサーの極板 $\mathrm{a}$、コンデンサーの極板 $\mathrm{b}$ $\to$ 電源の負極、の順に直列につなぐ。スイッチを入れる前、コンデンサーはあらかじめ充電されていて、極板 $\mathrm{b}$ に対する極板 $\mathrm{a}$ の電位は $4\mathrm{V}$ である。

時刻 $t=0$ にスイッチ $\mathrm{S}$ を閉じる。$t\ge 0$ における、極板 $\mathrm{b}$ に対する極板 $\mathrm{a}$ の電位 $v_C(t)$（単位 $\mathrm{V}$）を、$t$（単位 $\mathrm{s}$）の式で求めよ。ラプラス変換を用いて解くこと。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=1+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\ge 0)$$
を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。ただし、$y(t)$ は指数位数であり、ラプラス変換をもつものとする。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+2y=2u(t-\pi ),y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数（ヘヴィサイド関数）で、$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$ とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(t)$ が、積分を含む微分方程式 $$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =10e^{-t}(t\ge 0)$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-2y\\ y^{\prime }=2x-2y+3e^{-t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$x(t)-2y(t)$ を $t$ の式で求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+2y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換 $Y(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt$ を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$[0,\infty )$ 上の関数 $h$ が指数位数であるとは、定数 $K>0$ と実数 $\alpha$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ が成り立つことをいう（このとき $\beta \ge \alpha$ を満たす任意の実数 $\beta$ についても $|h(t)|\le K{e}^{\beta t}$ が成り立つ）。$h$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[h](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}h(t)dt$（$s$ は実数）、$[0,\infty )$ 上の関数 $g,h$ の畳み込みを $(g\ast h)(t)={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )d\tau$ と定める。

$M$ を正の実数とし、$f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は連続で、すべての $t\ge 0$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすとする。$y:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は 2 回微分可能（$t=0$ では右側微分）で $y^{\prime \prime }$ が連続であり、$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれも指数位数で、
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+y(t)=f(t)(t\ge 0),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$
を満たすとする。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して $|y(t)|\le M$ が成り立つことを、ラプラス変換を用いて証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい（$s$ は実数とする）。
- $(\mathrm{a})$ $h$ が連続で、ある $K>0$ と実数 $\alpha$ について $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ $(t\ge 0)$ のとき、$s>\alpha$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h](s)$ を定める積分は収束する。また、$\mathcal{L}$ は線形である（$\mathcal{L}[h_1],\mathcal{L}[h_2]$ がともに存在する $s$ で $\mathcal{L}[c_1{h}_1+c_2{h}_2]=c_1\mathcal{L}[h_1]+c_2\mathcal{L}[h_2]$）。
- $(\mathrm{b})$ $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ が連続で、ある共通の $K>0$ と実数 $\alpha$ についていずれも $K{e}^{\alpha t}$ で抑えられるとき、$s>\alpha$ で $\mathcal{L}[y^{\prime }]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y^{\prime }(0)$。
- $(\mathrm{c})$（畳み込み定理）$g,h$ が連続で指数位数ならば、$g\ast h$ も連続で指数位数であり、ある実数 $s_1$ があって $s>s_1$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[g\ast h](s)=\mathcal{L}[g](s)\mathcal{L}[h](s)$。
- $(\mathrm{d})$（ラプラス変換の一意性）連続で指数位数の $h_1,h_2$ について、ある実数 $s_0$ があって $s>s_0$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h_1](s)=\mathcal{L}[h_2](s)$ ならば、$[0,\infty )$ 上で $h_1=h_2$。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=e^{-t}+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\geqq 0)$$
を満たすとする。ただし $y(t)$ は指数位数（ある定数 $M,a$ に対して $|y(t)|\leqq M{e}^{at}$）であり、ラプラス変換をもつものとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ を、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (2m\leqq t<2m+1)\\ 0& (2m+1\leqq t<2m+2)\end{array}$$
で定める（周期 $2$ の矩形波）。関数 $y(t)$ は $t\geqq 0$ で連続微分可能で、$y^{\prime \prime }(t)$ は区分的に連続であり、$f(t)$ の不連続点を除くすべての $t>0$ で微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)$$
を満たし、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。関数 $g(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[g](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$ で定める。ラプラス変換を用いて、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)(n\text{ は正の整数})$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(t)$ が、変数係数の微分方程式 $$t{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ty=0(t\ge 0)$$ と条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ただし $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれもラプラス変換が存在する（指数位数の）関数とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ は、$t\ge 0$ で連続、$t\ne \pi$ で微分可能であり、$y(0)=0$ を満たし、さらに $t>0,t\ne \pi$ において積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =U(t-\pi )$$
を満たすとする。ここで $U(t)$ は単位階段関数（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）である。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+4\frac{dy}{dt}+3y=x(t)$$
で表される因果的な連続時間の線形時不変系がある（$t$ は時刻で単位は s、$t<0$ で $x(t)=0,y(t)=0$ とする）。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。

出力 $y(t)$ が $t\ge 0$ で最大値をとる時刻 $t$（単位は s）を、正確な値で求めよ。