微分方程式の問題

$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ とおく。$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)=sY$、$\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau \right]=\frac{Y}{s}$、$\mathcal{L}[e^{-t}]=\frac{1}{s+1}$ より、両辺をラプラス変換すると $$sY+2Y+\frac{5}{s}Y=\frac{10}{s+1}.$$ 両辺に $s$ を掛けて $$(s^2+2s+5)Y=\frac{10s}{s+1},Y=\frac{10s}{(s+1)\{(s+1{)}^2+4\}}.$$

部分分数に分解する。$u=s+1$ とおくと $10s=10(u-1)$ で、 $$\frac{10(u-1)}{u(u^2+4)}=\frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^2+4}$$ とおくと $10u-10=A(u^2+4)+B{u}^2+Cu$。係数を比べて $A+B=0$, $C=10$, $4A=-10$。よって $A=-\frac{5}{2}$, $B=\frac{5}{2}$, $C=10$ で $$Y=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{s+1}+\frac{5}{2}\cdot \frac{s+1}{(s+1{)}^2+4}+5\cdot \frac{2}{(s+1{)}^2+4}.$$

${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\cos 2t$、${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{2}{(s+1{)}^2+4}\right]=e^{-t}\sin 2t$（移動法則）より $$y(t)=e^{-t}\left(-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\cos 2t+5\sin 2t\right).$$

確認: 方程式を微分すると $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=-10e^{-t}$、また $t=0$ とおくと $y^{\prime }(0)=10$。上の $y$ は $y(0)=0$ を満たし、$y^{\prime }(0)=-\left(-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\right)+2\cdot 5=10$。$-\frac{5}{2}{e}^{-t}$ は $(1-2+5)\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)e^{-t}=-10e^{-t}$ を与え、残りは斉次解なので確かに解である。

よって $$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=e^{-\pi /4}\left(-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\cdot 0+5\cdot 1\right)=\frac{5}{2}{e}^{-\pi /4}.$$

$Y=\mathcal{L}[y]$ とする。$y(0)=0$ より $\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY$、$\mathcal{L}[{\int }_0^{t}y]=Y/s$。$sY+2Y+\frac{5}{s}Y=\frac{10}{s+1}$。$Y\cdot \frac{s^2+2s+5}{s}=\frac{10}{s+1}$ より $Y=\frac{10s}{(s+1)(s^2+2s+5)}$。$w=s+1$ とおくと $Y=\frac{10(w-1)}{w(w^2+4)}=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{w}+\frac{\frac{5}{2}w+10}{w^2+4}$（部分分数、$w^2$の係数・$w$の係数・定数項を比較して確認）。逆変換して $y=e^{-t}\left(-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\cos 2t+5\sin 2t\right)$。検算: $y(0)=0$、$y^{\prime }(0)=10-2y(0)=10$ に対し、$y^{\prime }(0)=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}+10=10$ で一致。$t=\pi /4$ で $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ なので $y(\pi /4)=e^{-\pi /4}\left(-\frac{5}{2}+5\right)=\frac{5}{2}{e}^{-\pi /4}$。