ラプラス変換と逆変換

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>1$ において
$$F(s)=\frac{5s+1}{(s-1)(s+2)}$$
であるとき、$f(t)$ を求めよ。ただし、実数 $a$ に対して $s>a$ のとき $\mathcal{L}[e^{at}](s)=\frac{1}{s-a}$ が成り立つこと、ラプラス変換が線形であること、および $t\geqq 0$ で連続な関数はそのラプラス変換によってただ一つに定まることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+7}{(s+2)(s+3)}$$
であるとき、$f(t)$ を求めよ。ただし、$t\geqq 0$ で連続な関数はそのラプラス変換によってただ 1 つに定まることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>1$ で
$$F(s)=\frac{5s+1}{s^2+s-2}$$
となるような連続関数 $f(t)$ を求めよ。ただし、ラプラス変換が一致する $t\geqq 0$ 上の連続関数はただ 1 つであることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)](s)$ とおき、ラプラス変換を用いてこの初期値問題を解け。$t\geqq 0$ における $y(t)$ を $t$ の式で答えよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=4e^{3t},y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(1-s)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)(t\ge 0)$ とする。この系は右半平面 $s=1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。ラプラス変換の性質 $\mathcal{L}[t^{n}f(t)](s)=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$（$n$ は正の整数）などを用いて、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }{t}^3{e}^{-2t}\cos tdt$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+5}{s^2+4s+13}$$
となる連続関数 $f(t)$（$t\geqq 0$）を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
で定める。$\omega$ を正の実数とする。次の事実は用いてよい。

• $s>0$ のとき $\mathcal{L}[\sin \omega t](s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$、$\mathcal{L}[\cos \omega t](s)=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
• $f$ が $[0,\infty )$ で連続かつ有界で $F(s)=\mathcal{L}[f](s)(s>0)$ のとき、$s>0$ で $\mathcal{L}[tf(t)](s)=-F^{\prime }(s)$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続な 2 つの関数のラプラス変換が $s>0$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続な関数 $g(t)$ が、すべての $s>0$ で
$$\mathcal{L}[g](s)=\frac{1}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
を満たすとき、
$$g(t)=\frac{\sin \omega t-\omega t\cos \omega t}{2{\omega }^3}(t\ge 0)$$
であることを証明せよ。

$[0,\infty )$ で連続な関数 $f$ が指数位数であるとは、定数 $M>0$, $c\ge 0$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|f(t)|\le M{e}^{ct}$ となることをいう。このとき $s>c$ でラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ が定まる。また $f,g$ の畳み込みを $(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau (t\ge 0)$ で定める。次の事実は用いてよい。

• （畳み込み定理）$f,g$ が $[0,\infty )$ で連続かつ指数位数ならば、$f\ast g$ も連続かつ指数位数であり、十分大きいすべての $s$ で $\mathcal{L}[f\ast g](s)=\mathcal{L}[f](s)\mathcal{L}[g](s)$
• $s>0$ で $\mathcal{L}[t](s)=\frac{1}{s^2}$、$s>1$ で $\mathcal{L}[\sinh t](s)=\frac{1}{s^2-1}$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の 2 つの関数のラプラス変換が、十分大きいすべての $s$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の関数 $y$ が、すべての $t\ge 0$ で
$$y(t)=t+{\int }_0^t(t-\tau )y(\tau )d\tau$$
を満たすならば、$y(t)=\sinh t(t\ge 0)$ であることを証明せよ。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=1+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\ge 0)$$
を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。ただし、$y(t)$ は指数位数であり、ラプラス変換をもつものとする。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系の伝達関数 $G(s)$ は実係数の真にプロパーな有理関数であり、次の条件をすべて満たすとする（$G(s)$ は既約な形で考え、分子と分母に共通因子はないものとする）。

• $G(s)$ の極は $s=-1$ と $s=-2$ のみで、いずれも単純極である。
• $G(s)$ の零点は $s=1$ のみで、単純零点である。
• 直流ゲインは $G(0)=1$ である。

この系に、初期状態を零として単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+2y=2u(t-\pi ),y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数（ヘヴィサイド関数）で、$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$ とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(t)$ が、積分を含む微分方程式 $$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =10e^{-t}(t\ge 0)$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-2y\\ y^{\prime }=2x-2y+3e^{-t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$x(t)-2y(t)$ を $t$ の式で求めよ。

$t>0$ で定義された関数 $g(t)=\frac{1-\cos 2t}{t}$ のラプラス変換 $G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$（$s>0$）を、公式
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right](s)={\int }_s^{\infty }F(u)du(F=\mathcal{L}[f])$$
を用いて求めることにより、定積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{e^{-t}(1-\cos 2t)}{t}dt$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+2y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換 $Y(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt$ を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>0$ で
$$F(s)=\frac{3s^2+8s+13}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$
であるとき、$f(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\ge 0$）。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(s+1)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極はすべて負の実数であるが、零点 $s=-1$ が極より虚軸に近いため、ステップ応答に行き過ぎ（オーバーシュート）が生じる。

初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最大値を与える時刻 $t_p$ と最大値 $y_{\max }$ を、この順に組 $(t_p,y_{\max })$ で求めよ。

$[0,\infty )$ 上の関数 $h$ が指数位数であるとは、定数 $K>0$ と実数 $\alpha$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ が成り立つことをいう（このとき $\beta \ge \alpha$ を満たす任意の実数 $\beta$ についても $|h(t)|\le K{e}^{\beta t}$ が成り立つ）。$h$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[h](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}h(t)dt$（$s$ は実数）、$[0,\infty )$ 上の関数 $g,h$ の畳み込みを $(g\ast h)(t)={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )d\tau$ と定める。

$M$ を正の実数とし、$f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は連続で、すべての $t\ge 0$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすとする。$y:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は 2 回微分可能（$t=0$ では右側微分）で $y^{\prime \prime }$ が連続であり、$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれも指数位数で、
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+y(t)=f(t)(t\ge 0),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$
を満たすとする。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して $|y(t)|\le M$ が成り立つことを、ラプラス変換を用いて証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい（$s$ は実数とする）。
- $(\mathrm{a})$ $h$ が連続で、ある $K>0$ と実数 $\alpha$ について $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ $(t\ge 0)$ のとき、$s>\alpha$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h](s)$ を定める積分は収束する。また、$\mathcal{L}$ は線形である（$\mathcal{L}[h_1],\mathcal{L}[h_2]$ がともに存在する $s$ で $\mathcal{L}[c_1{h}_1+c_2{h}_2]=c_1\mathcal{L}[h_1]+c_2\mathcal{L}[h_2]$）。
- $(\mathrm{b})$ $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ が連続で、ある共通の $K>0$ と実数 $\alpha$ についていずれも $K{e}^{\alpha t}$ で抑えられるとき、$s>\alpha$ で $\mathcal{L}[y^{\prime }]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y^{\prime }(0)$。
- $(\mathrm{c})$（畳み込み定理）$g,h$ が連続で指数位数ならば、$g\ast h$ も連続で指数位数であり、ある実数 $s_1$ があって $s>s_1$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[g\ast h](s)=\mathcal{L}[g](s)\mathcal{L}[h](s)$。
- $(\mathrm{d})$（ラプラス変換の一意性）連続で指数位数の $h_1,h_2$ について、ある実数 $s_0$ があって $s>s_0$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h_1](s)=\mathcal{L}[h_2](s)$ ならば、$[0,\infty )$ 上で $h_1=h_2$。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=e^{-t}+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\geqq 0)$$
を満たすとする。ただし $y(t)$ は指数位数（ある定数 $M,a$ に対して $|y(t)|\leqq M{e}^{at}$）であり、ラプラス変換をもつものとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ を、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (2m\leqq t<2m+1)\\ 0& (2m+1\leqq t<2m+2)\end{array}$$
で定める（周期 $2$ の矩形波）。関数 $y(t)$ は $t\geqq 0$ で連続微分可能で、$y^{\prime \prime }(t)$ は区分的に連続であり、$f(t)$ の不連続点を除くすべての $t>0$ で微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)$$
を満たし、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。関数 $g(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[g](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$ で定める。ラプラス変換を用いて、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)(n\text{ は正の整数})$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(t)$ が、変数係数の微分方程式 $$t{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ty=0(t\ge 0)$$ と条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ただし $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれもラプラス変換が存在する（指数位数の）関数とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ は、$t\ge 0$ で連続、$t\ne \pi$ で微分可能であり、$y(0)=0$ を満たし、さらに $t>0,t\ne \pi$ において積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =U(t-\pi )$$
を満たすとする。ここで $U(t)$ は単位階段関数（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）である。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

内部抵抗の無視できる起電力 $E=10\mathrm{V}$ の直流電源、スイッチ $\mathrm{S}$、自己インダクタンス $L=0.25\mathrm{H}$ のコイル、抵抗値 $R=200\Omega$ の抵抗、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーからなる回路を考える。電源の正極は $\mathrm{S}$ を通してコイルの一端につながり、コイルの他端を節点 $\mathrm{A}$ とする。電源の負極を節点 $\mathrm{B}$ とし、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に抵抗とコンデンサーが並列に接続されている。導線の抵抗、コイルの抵抗は無視し、素子はすべて理想的（線形）とする。

時刻 $t<0$ では $\mathrm{S}$ は開いており、コイルに電流は流れていない。また、コンデンサーは $\mathrm{A}$ 側が高電位となるように電圧 $20\mathrm{V}$ に充電されている（抵抗を通した放電は無視できるものとし、$t=0$ の直前でもコンデンサーの電圧は $20\mathrm{V}$ であるとする）。時刻 $t=0$ に $\mathrm{S}$ を閉じる。

$t\ge 0$ における $\mathrm{B}$ に対する $\mathrm{A}$ の電位 $v(t)$ を、ラプラス変換を用いて求めよ。ただし $v(t)$ の単位は $\mathrm{V}$、$t$ の単位は $\mathrm{s}$ とし、$t$ の式で答えよ。

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+4\frac{dy}{dt}+3y=x(t)$$
で表される因果的な連続時間の線形時不変系がある（$t$ は時刻で単位は s、$t<0$ で $x(t)=0,y(t)=0$ とする）。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。

出力 $y(t)$ が $t\ge 0$ で最大値をとる時刻 $t$（単位は s）を、正確な値で求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t>0$ に対して積分方程式
$${\int }_0^t\frac{y(u)}{\sqrt{t-u}}du=t+t^2$$
を満たすとする。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、必要なら、実数 $a>-1$ に対する公式 $\mathcal{L}[t^a](s)=\frac{\Gamma (a+1)}{s^{a+1}}$（$s>0$）と $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$、$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ を用いてよい。ラプラス変換を用いて、$y(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\geqq 0$）。

ある因果的で安定な連続時間の線形時不変系に、入力
$$x_1(t)=e^{-3t}u(t)$$
を加えたところ、出力は
$$y_1(t)=\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)u(t)$$
であった。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、入力・出力は無次元の量とする。また $t<0$ では系は静止している（初期状態は $0$）。

同じ系に、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$x_2(t)=u(t)-u(t-2)$$
を入力したときの出力を $y_2(t)$ とする。出力のエネルギー
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_2(t{)}^{2}dt$$
の値を、$e$ を用いた正確な値で求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t\geqq 0$ に対して積分方程式
$$y(t)+2{\int }_0^t\cos (t-u)y(u)du=e^{-t}$$
を満たすとする。$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、$y(t)$ のラプラス変換は十分大きい実数 $s$ に対して存在するものとする。$y(t)$ を求めよ。