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制御理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学制御理論

伝達関数
$G (s) = \frac{6 ( 1 - s )}{( s + 2 ) ( s + 3 )}$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t = 0$ に単位ステップ入力 $u (t) = 1 (t \geq 0)$ を加えたときの出力を $y (t) (t \geq 0)$ とする。この系は右半平面 $s = 1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。 $t \geq 0$ における $y (t)$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

ステップ応答と最終値（説明と入口の問題）
ラプラス変換と逆変換（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ステップ応答のラプラス変換は $Y (s) = G (s) / s$ である。部分分数に分解して $y (t)$ を具体的に求めよう。

ヒント 2

$Y (s) = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + 2} + \frac{c}{s + 3}$ の係数は各極での留数として求められる。 $y (t)$ が求まったら $y^{'} (t) = 0$ となる時刻を調べる。

ヒント 3

$y (t) = 1 - 9 e^{- 2 t} + 8 e^{- 3 t}$ となる。 $y^{'} (t) = 0$ から $e^{- t}$ の値を求め、それを $y (t)$ に代入すればよい。

答えと解説

答えを見る

- \frac{11}{16}

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解説を読む

極・零点. $G (s)$ の極は $s = - 2, - 3$ （ともに左半平面なので系は安定）、零点は $s = 1$ （右半平面、不安定零点）である。直流ゲインは $G (0) = \frac{6}{6} = 1$ 。

ステップ応答. 初期状態が $0$ なので $Y (s) = G (s) \cdot \frac{1}{s} = \frac{6 ( 1 - s )}{s ( s + 2 ) ( s + 3 )}$ 。部分分数に分解して
$\frac{6 ( 1 - s )}{s ( s + 2 ) ( s + 3 )} = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + 2} + \frac{c}{s + 3}$
とおくと、留数計算により
$a = \frac{6 ( 1 - s )}{( s + 2 ) ( s + 3 )}_{s = 0} = \frac{6}{6} = 1, b = \frac{6 ( 1 - s )}{s ( s + 3 )}_{s = - 2} = \frac{6 \cdot 3}{( - 2 ) \cdot 1} = - 9,$
$c = \frac{6 ( 1 - s )}{s ( s + 2 )}_{s = - 3} = \frac{6 \cdot 4}{( - 3 ) \cdot ( - 1 )} = 8.$
よって逆ラプラス変換して
$y (t) = 1 - 9 e^{- 2 t} + 8 e^{- 3 t} (t \geq 0) .$
（ $y (0) = 1 - 9 + 8 = 0$ で初期状態と合っている。）

最小値. 微分すると
$y^{'} (t) = 18 e^{- 2 t} - 24 e^{- 3 t} = 6 e^{- 3 t} (3 e^{t} - 4) .$
よって $y^{'} (t) < 0 (0 \leq t < lo g \frac{4}{3})$ 、 $y^{'} (t) > 0 (t > lo g \frac{4}{3})$ であり、 $y$ は $t = lo g \frac{4}{3}$ で最小となる（ $y^{'} (0) = - 6 < 0$ が逆ぶれを表している）。このとき $e^{- t} = \frac{3}{4}$ なので
$y (lo g \frac{4}{3}) = 1 - 9 (\frac{3}{4})^{2} + 8 (\frac{3}{4})^{3} = 1 - \frac{81}{16} + \frac{27}{8} = \frac{16 - 81 + 54}{16} = - \frac{11}{16} .$
$t \to \infty$ では $y (t) \to 1$ なので、これが $t \geq 0$ での最小値である。

したがって最小値は $- \frac{11}{16}$ である。

別解

$Y (s) = G (s) \cdot \frac{1}{s} = \frac{6 ( 1 - s )}{s ( s + 2 ) ( s + 3 )}$ 。部分分数分解して $Y (s) = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + 2} + \frac{c}{s + 3}$ とおくと、 $a = \frac{6 \cdot 1}{2 \cdot 3} = 1$ 、 $b = \frac{6 ( 1 + 2 )}{( - 2 ) ( 1 )} = - 9$ 、 $c = \frac{6 ( 1 + 3 )}{( - 3 ) ( - 1 )} = 8$ 。よって
$y (t) = 1 - 9 e^{- 2 t} + 8 e^{- 3 t} (t \geq 0) .$
確認: $y (0) = 1 - 9 + 8 = 0$ 、 $y (\infty) = 1$ （直流ゲイン $G (0) = 1$ と一致）、 $y^{'} (0) = 18 - 24 = - 6 < 0$ で逆ぶれ。

$y^{'} (t) = 18 e^{- 2 t} - 24 e^{- 3 t} = 6 e^{- 3 t} (3 e^{t} - 4)$ 。 $y^{'} (t) = 0$ となるのは $e^{t} = \frac{4}{3}$ 、すなわち $t_{0} = lo g \frac{4}{3} > 0$ 。 $t < t_{0}$ で $y^{'} < 0$ 、 $t > t_{0}$ で $y^{'} > 0$ なので、 $t_{0}$ で最小。 $e^{- t_{0}} = \frac{3}{4}$ より
$y (t_{0}) = 1 - 9 \cdot \frac{9}{16} + 8 \cdot \frac{27}{64} = 1 - \frac{81}{16} + \frac{27}{8} = \frac{16 - 81 + 54}{16} = - \frac{11}{16} .$
検算: $t_{0} = lo g (4/3) \approx 0.2877$ 、 $e^{- 2 t_{0}} = 0.5625$ 、 $e^{- 3 t_{0}} = 0.421875$ で $1 - 5.0625 + 3.375 = - 0.6875 = - 11/16$ 。

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