制御理論の問題

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(1-s)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)(t\ge 0)$ とする。この系は右半平面 $s=1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

実数のパラメータ $z$ が $0<z<1$ を満たすとし、伝達関数
$$G(s)=\frac{2(s+z)}{z(s+1)(s+2)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極は $-1,-2$、零点は $-z$ であり、$G(0)=1$ である。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。

最大行き過ぎ量
$$M=\underset{t\ge 0}{\max }(y(t)-1)$$
を $z$ の式で求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{12}{(s+1)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加える。このときの出力 $y(t)(t\ge 0)$ を $t$ の式で求めよ。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系の伝達関数 $G(s)$ は実係数の真にプロパーな有理関数であり、次の条件をすべて満たすとする（$G(s)$ は既約な形で考え、分子と分母に共通因子はないものとする）。

• $G(s)$ の極は $s=-1$ と $s=-2$ のみで、いずれも単純極である。
• $G(s)$ の零点は $s=1$ のみで、単純零点である。
• 直流ゲインは $G(0)=1$ である。

この系に、初期状態を零として単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

制御対象 $$P(s)=\frac{s+2}{(s-1)(s^2+2s+5)}$$ に比例制御器 $C(s)=K$（$K$ は実数）を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は $$(s-1)(s^2+2s+5)+K(s+2)=0$$ である。閉ループ系が漸近安定となる（特性方程式のすべての根の実部が負となる）ような $K$ の範囲を求めよ。