制御理論の問題

特性多項式を展開すると $$(s-1)(s^2+2s+5)=s^3+2s^2+5s-s^2-2s-5=s^3+s^2+3s-5$$ なので $$s^3+s^2+(K+3)s+(2K-5)=0.$$

ラウス表.
- $s^3$ 行: $1,K+3$
- $s^2$ 行: $1,2K-5$
- $s^1$ 行: $\frac{1\cdot (K+3)-1\cdot (2K-5)}{1}=8-K$
- $s^0$ 行: $2K-5$

ラウスの安定判別法により、すべての根の実部が負であるための必要十分条件は、第 1 列 $1,1,8-K,2K-5$ がすべて正であること、すなわち $$8-K>0,2K-5>0.$$ よって $\frac{5}{2}<K<8$。このとき $K+3>0$ も成り立つ（3 次式の係数がすべて正であるという必要条件とも整合する）。

（フルビッツの条件で確かめると、$a_2=1$, $a_1=K+3$, $a_0=2K-5$ について $a_2,a_1,a_0>0$ かつ $a_2{a}_1-a_0=8-K>0$ で同じ結果になる。境界 $K=8$ では $s^3+s^2+11s+11=(s+1)(s^2+11)$ となり虚軸上の根 $\pm j\sqrt{11}$ をもち、$K=\frac{5}{2}$ では根 $s=0$ をもつので、どちらの端も含まない。）

答えは $\frac{5}{2}<K<8$ である。

特性多項式を展開すると $(s-1)(s^2+2s+5)=s^3+s^2+3s-5$ なので、$s^3+s^2+(3+K)s+(2K-5)$。3 次式 $s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$ の根の実部がすべて負となる条件（ラウス・フルビッツ）は $a_2>0,a_1>0,a_0>0,a_2{a}_1>a_0$。ここで $a_2=1>0$、$a_1=3+K>0⟺K>-3$、$a_0=2K-5>0⟺K>5/2$、$a_2{a}_1>a_0⟺3+K>2K-5⟺K<8$。したがって $5/2<K<8$。検算: $K=8$ では $s^3+s^2+11s+11=(s+1)(s^2+11)$ で虚軸上に根 $\pm j\sqrt{11}$ をもち境界。$K=5/2$ では定数項が 0 で $s=0$ が根となり境界。$K=5$（範囲内）では $s^3+s^2+8s+5$ で、ラウス表の第 1 列は $1,1,3,5$ と考えると $(1\cdot 8-5)/1=3>0$、$5>0$ で安定。