ラウス・フルビッツの安定判別

単位負帰還系の特性方程式 $1 + L (s) = 0$ を多項式に直し、ラウス表（またはフルビッツ行列式）で根の実部がすべて負になる条件を求め、ゲイン $K$ の範囲を求められる

前提

伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）

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算数中学高校大学大学院

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伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）

説明

閉ループ系が安定である（特性方程式の根、つまり閉ループの極の実部がすべて負である）かどうかを、根を実際に求めずに、多項式の係数だけから判定します。ラウス表と呼ばれる数の表を作り、その第 1 列の符号がすべて同じかどうかを見るだけで判定でき、係数にゲイン $K$ が入っていれば、安定となる $K$ の範囲が不等式として得られます。3 次以上で根を公式で求めにくい特性方程式や、パラメータを含む特性方程式の安定判別に使います。

なぜそうしてよいのか

単位負帰還系の閉ループ伝達関数は $\frac{L ( s )}{1 + L ( s )}$ なので、閉ループの極は $1 + L (s) = 0$ の根です。 $L (s) = \frac{N ( s )}{D ( s )}$ と書けば、分母を払って特性多項式 $D (s) + N (s) = 0$ を得ます。ステップ応答などの各項は $e^{pt}$ （ $p$ は極）の形なので、すべての極の実部が負なら応答は落ち着きます。

まず、必要条件として「係数がすべて正（同符号）」が成り立ちます。実係数の多項式は、実根 $- r$ に対する $(s + r)$ と、共役な複素根の組 $- σ \pm iω$ に対する $(s^{2} + 2 σ s + σ^{2} + ω^{2})$ の積に分解でき、実部が負なら $r > 0, σ > 0$ なので、どの因数も係数が正で、それらの積の係数もすべて正になるからです。ただし 3 次以上ではこれだけでは十分ではありません。3 次式 $a_{3} s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ （ $a_{i} > 0$ ）で考えると、根は係数に連続的に依存するので、係数を動かしたとき安定・不安定が入れ替わるのは、根が虚軸を横切る瞬間、すなわち $s = 0$ か $s = iω (ω \neq = 0)$ が根になるときだけです。 $s = iω$ を代入して実部と虚部を $0$ とおくと $a_{0} - a_{2} ω^{2} = 0, a_{1} ω - a_{3} ω^{3} = 0$ で、 $ω^{2} = \frac{a _{0}}{a _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{3}}$ 、つまり $a_{1} a_{2} = a_{0} a_{3}$ が境目になります。 $a_{2} = a_{1} = 1, a_{3} = 1, a_{0} \to 0$ のような安定な場合（ $a_{1} a_{2} > a_{0} a_{3}$ 側）から連続につながるので、3 次では「係数がすべて正かつ $a_{2} a_{1} - a_{3} a_{0} > 0$ 」が安定の必要十分条件です。

この考えを一般の次数に広げたものがラウス表です。 $a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{0} (a_{n} > 0)$ に対して、1 行目に $a_{n}, a_{n - 2}, a_{n - 4}, \dots$ 、2 行目に $a_{n - 1}, a_{n - 3}, \dots$ を並べ、3 行目以降は直前の 2 行から
$b_{1} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 2} - a _{n} a _{n - 3}}{a _{n - 1}}, b_{2} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 4} - a _{n} a _{n - 5}}{a _{n - 1}}, \dots$
のように「たすき掛けを左の数で割る」規則で作ります（足りない係数は $0$ とする）。全部で $n + 1$ 行になります。ラウスの定理によれば、第 1 列に $0$ が現れなければ、第 1 列の符号の変化の回数が実部が正の根の個数に等しくなります。したがって安定であるための必要十分条件は「第 1 列がすべて正」です。3 次の場合にこれを書き出すと、上で導いた $a_{2} a_{1} - a_{3} a_{0} > 0$ と一致します（この量は $2 \times 2$ の行列式 $a_{2} a_{3} a_{0} a_{1}$ で、フルビッツ行列式と呼ばれるものの 1 つです）。

手順

特性方程式 $1 + L (s) = 0$ の分母を払い、特性多項式 $a_{n} s^{n} + \dots + a_{1} s + a_{0}$ に整理する（ $L = \frac{N}{D}$ なら $D (s) + N (s)$ ）。 $a_{n} > 0$ になるように符号をそろえる
係数がすべて正であるかを確認する（必要条件）。 $0$ 以下の係数があれば、その時点で不安定である
ラウス表を作る。1 行目に $a_{n}, a_{n - 2}, \dots$ 、2 行目に $a_{n - 1}, a_{n - 3}, \dots$ を並べ、以降の行を $b_{1} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 2} - a _{n} a _{n - 3}}{a _{n - 1}}$ の規則で計算する
第 1 列のすべての要素が正になる条件を不等式で書く
それらの不等式を連立して解き、安定となるゲイン $K$ の範囲を求める（境目の値は虚軸上に根があり安定ではないので含めない）

例題

開ループ伝達関数
$L (s) = \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )}$
をもつ単位負帰還系を考える（ $K$ は実数の定数）。閉ループ系が安定となる（特性方程式のすべての根の実部が負となる） $K$ の範囲を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $1 + L (s) = 0$ の分母を払うと $s (s + 1) (s + 2) + K = 0$ 、展開して
$s^{3} + 3 s^{2} + 2 s + K = 0.$
$a_{3} = 1, a_{2} = 3, a_{1} = 2, a_{0} = K$ 。

（手順 2）係数がすべて正であるためには $K > 0$ が必要である。

（手順 3）ラウス表を作る。
- $s^{3}$ の行: $1, 2$
- $s^{2}$ の行: $3, K$
- $s^{1}$ の行: $\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot K}{3} = \frac{6 - K}{3}, 0$
- $s^{0}$ の行: $\frac{\frac{6 - K}{3} \cdot K - 3 \cdot 0}{\frac{6 - K}{3}} = K$

（手順 4）第 1 列 $1, 3, \frac{6 - K}{3}, K$ がすべて正である条件は
$\frac{6 - K}{3} > 0, K > 0.$

（手順 5）連立して $0 < K < 6$ 。

（確認） $K = 6$ のとき $s^{3} + 3 s^{2} + 2 s + 6 = (s + 3) (s^{2} + 2)$ で、根 $\pm 2 i$ が虚軸上にあるので安定ではない。 $K = 0$ のときは根 $s = 0$ をもつ。よって端点は含まない。

答えは $0 < K < 6$ 。

答え: $(0, 6)$

よくある誤り

係数がすべて正であることだけで安定と判定してしまう誤り。たとえば $s^{3} + s^{2} + s + 2$ は係数がすべて正だが、ラウス表の第 1 列は $1, 1, \frac{1 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{1} = - 1, 2$ で符号が 2 回変わり、実部が正の根が 2 つある。正しくは 3 次以上ではラウス表の第 1 列まで調べる
特性多項式を開ループの分母 $D (s)$ だけ、あるいは $D (s) - N (s)$ としてしまう誤り。単位負帰還では $1 + \frac{N ( s )}{D ( s )} = 0$ より、正しくは $D (s) + N (s) = 0$ （例題では $s^{3} + 3 s^{2} + 2 s + K$ ）である
最後の行（ $s^{0}$ の行）の条件 $K > 0$ を落として $K < 6$ と答えてしまう誤り。 $K < 0$ では定数項が負になり、正の実根をもつ。正しくは第 1 列のすべての要素を正にする条件を連立して $0 < K < 6$ とする
境目の値を含めて $0 \leq K \leq 6$ としてしまう誤り。 $K = 6$ では根 $\pm 2 i$ が虚軸上にあり、実部が負という条件を満たさない（持続振動になる）。正しくは開区間 $0 < K < 6$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
開ループ伝達関数が
$L (s) = \frac{K}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 )} (K は実数)$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の特性方程式 $1 + L (s) = 0$ の根（複素数の範囲で考える）の実部がすべて負となるような $K$ の値の範囲を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

安定余裕を指定した安定判別（大学院数学制御理論）
2 パラメータの安定領域（大学院数学制御理論）