制御理論の問題

特性多項式は
$$s(s+3)(s+6)+K=s^3+9s^2+18s+K.$$

変数変換：すべての根の実部が $-1$ より小さいことは、$s=p-1$ とおいたとき $p$ についての多項式のすべての根の実部が負であること（安定多項式であること）と同値である。代入すると
$$\begin{array}{rl}(p-1{)}^3& =p^3-3p^2+3p-1,\\ 9(p-1{)}^2& =9p^2-18p+9,\\ 18(p-1)& =18p-18\end{array}$$
より
$$Q(p)=p^3+6p^2+3p+(K-10).$$

ラウス・フルビッツの判別：実係数の 3 次多項式 $p^3+a_1{p}^2+a_{2}p+a_3$ がすべての根の実部を負とする必要十分条件は
$$a_1>0,a_2>0,a_3>0,a_1{a}_2>a_3$$
である（ラウス表 $p^3:1,a_2;p^2:a_1,a_3;p^1:(a_1{a}_2-a_3)/a_1;p^0:a_3$ の第 1 列がすべて正）。

ここで $a_1=6>0,a_2=3>0$ は常に成り立ち、
$$a_3=K-10>0⟺K>10,a_1{a}_2-a_3=18-(K-10)=28-K>0⟺K<28.$$
よって $10<K<28$。

端点の確認：
- $K=10$ のとき $Q(p)=p(p^2+6p+3)$ で $p=0$、つまり $s=-1$ が極になり、条件（実部が $-1$ より小さい）を満たさない。実際 $s^3+9s^2+18s+10$ に $s=-1$ を代入すると $-1+9-18+10=0$。
- $K=28$ のとき $Q(p)=p^3+6p^2+3p+18=(p^2+3)(p+6)$ で $p=\pm \sqrt{3}i$、つまり $s=-1\pm \sqrt{3}i$ が極になり、やはり条件を満たさない。

（参考：単なる安定性の条件は $s^3+9s^2+18s+K$ に同じ判別を使って $0<K<162$ であり、求める範囲はその一部になっている。）

したがって求める範囲は $10<K<28$、すなわち開区間 $(10,28)$。

特性方程式は $s^3+9s^2+18s+K=0$。$s=z-1$ とおくと、すべての根が $\mathrm{Re}s<-1$ $⟺$ $z$ の方程式のすべての根が $\mathrm{Re}z<0$。\n代入: $(z-1{)}^3+9(z-1{)}^2+18(z-1)+K=(z^3-3z^2+3z-1)+(9z^2-18z+9)+(18z-18)+K=z^3+6z^2+3z+(K-10)$。\nHurwitz の条件（3 次式 $z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$ の根がすべて左半平面 $⟺a_2,a_1,a_0>0$ かつ $a_2{a}_1>a_0$）より、$6>0,3>0,K-10>0$ かつ $6\cdot 3>K-10$。よって $10<K<28$。\n検算: $K=10$ では $z=0$ が根（$s=-1$）で境界。$K=28$ では $z^3+6z^2+3z+18=(z+6)(z^2+3)$ で $z=\pm i\sqrt{3}$（虚軸上）なので境界。$K=20$ では $z^3+6z^2+3z+10$ に対しルート・ハイツ表の第1列 $1,6,(18-10)/6>0,10$ がすべて正で安定。$K=0$ では $s=0$ が根で不適、$K=30$ では $z^3+6z^2+3z+20$、$18-20<0$ で不安定。