制御理論の問題

置き換え. 根がすべて $\mathrm{Re}s<-1$ にあることは、$s=z-1$ と置いたとき $z$ の多項式の根がすべて $\mathrm{Re}z<0$ にあることと同じである（$\mathrm{Re}z=\mathrm{Re}s+1$ だから）。

$s=z-1$ を代入すると $s+2=z+1$, $s+4=z+3$, $s+6=z+5$ なので
$$(z+1)(z+3)(z+5)+K=0.$$
展開すると $(z+1)(z+3)=z^2+4z+3$ より
$$(z^2+4z+3)(z+5)=z^3+9z^2+23z+15$$
だから、調べる多項式は
$$z^3+9z^2+23z+(15+K).$$

ラウス表.
$$\begin{array}{ccc}{z}^3& 1& 23\\ z^2& 9& 15+K\\ z^1& \frac{9\cdot 23-1\cdot (15+K)}{9}=\frac{192-K}{9}& \\ z^0& 15+K& \end{array}$$

条件. ラウスの判別法より、根の実部がすべて負となる必要十分条件は第 1 列 $1,9,\frac{192-K}{9},15+K$ がすべて正であること。よって
$$192-K>0,15+K>0$$
すなわち $-15<K<192$。

（端の確認: $K=-15$ のとき $z=0$、すなわち $s=-1$ が根になり、$K=192$ のとき $z^3+9z^2+23z+207=(z+9)(z^2+23)$ で $z=\pm j\sqrt{23}$、すなわち $\mathrm{Re}s=-1$ の根をもつので、どちらも含まない。）

よって求める範囲は $-15<K<192$。

$s=z-1$ とおくと $\mathrm{Re}s<-1⟺\mathrm{Re}z<0$。特性多項式は $(z+1)(z+3)(z+5)+K=z^3+9z^2+23z+(15+K)$。3 次式 $z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$ の根がすべて左半平面にある条件（ラウス・フルビッツ）は $a_2,a_1,a_0>0$ かつ $a_2{a}_1>a_0$。ここで $a_2=9>0$、$a_1=23>0$。$a_0=15+K>0$ より $K>-15$。$9\cdot 23=207>15+K$ より $K<192$。よって $-15<K<192$。検算: $K=192$ のとき $z^3+9z^2+23z+207=(z+9)(z^2+23)$ で虚軸上に根 $\pm j\sqrt{23}$ をもち境界（含まない）。$K=-15$ のとき $z=0$ が根で境界（含まない）。$K=0$ では根 $z=-1,-3,-5$ で条件を満たす。