制御理論

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -5& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$ は状態、$u(t),y(t)\in \mathbb{R}$ は入力と出力である。この系の伝達関数 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B$ を既約な有理関数で表したとき、その極（分母の根）をすべて求めよ。極は複素数の範囲で考え、虚数単位を $i$ とする。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$$
を考える。可制御性行列 $U_c=\left(\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right)$ の階数を $r_c$、可観測性行列 $U_o=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right)$ の階数を $r_o$ とする。組 $(r_c,r_o)$ をこの順に求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と入力 $u(t)$ をもつスカラーの線形系
$$\dot{x}(t)=x(t)+2u(t),x(0)=2$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(3x(t{)}^2+4u(t{)}^2)dt$$
を考える。入力 $u$ は、$t\to \infty$ で $x(t)\to 0$ となり $J$ が有限になるものの中から選ぶとする。$J$ の最小値を求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{12}{(s+1)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加える。このときの出力 $y(t)(t\ge 0)$ を $t$ の式で求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{(s+1)(s+2)(s+4)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の特性方程式 $1+L(s)=0$ の根（複素数の範囲で考える）の実部がすべて負となるような $K$ の値の範囲を求めよ。

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{cc}a& 1\end{array}\right)$$
とする。この系が可観測でなくなるような $a$ の値をすべて求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$, $K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$（$k_1,k_2$ は実数）を施す。閉ループ系 $\dot{x}=(A-BK)x$ の固有値がちょうど $-2$ と $-4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ u_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=u(t)(\text{すなわち }A=O,B=I)$$
と、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }\left(x(t{)}^{\mathsf{T}}Qx(t)+u(t{)}^{\mathsf{T}}u(t)\right)dt,Q=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$$
を考える（$R=I$）。ここで $O$ は 2 次の零行列、$I$ は 2 次の単位行列である。初期状態を $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ とし、入力 $u$ を $J$ が有限となる関数全体から選ぶとき、$J$ の最小値 $J^{\ast }$ を求めよ。ただし、代数リッカチ方程式 $A^{\mathsf{T}}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\mathsf{T}}P+Q=0$ の対称な正定値解 $P$ を用いて $J^{\ast }=x(0{)}^{\mathsf{T}}Px(0)$ となることは用いてよい。

伝達関数
$$G(s)=\frac{s+1}{s(s+3)}$$
を考える。$j$ を虚数単位とし、角周波数 $\omega >0$ に対する位相 $\angle G(j\omega )$ は、各因子の偏角の和
$$\angle G(j\omega )=\arg (1+j\omega )-\arg (j\omega )-\arg (3+j\omega )$$
として、$\omega$ について連続になるように定める（ここで $\arg (1+j\omega )$, $\arg (j\omega )$, $\arg (3+j\omega )$ はいずれも $0$ 以上 $\frac{\pi }{2}$ 以下の値をとる）。$\omega =\sqrt{3}$ におけるゲイン $|G(j\sqrt{3})|$ と位相 $\angle G(j\sqrt{3})$（弧度法）を、この順に組で求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{(s+2)(s+4)(s+6)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の極、すなわち特性方程式
$$(s+2)(s+4)(s+6)+K=0$$
の根（複素数の範囲で考える）が、すべて $\mathrm{Re}s<-1$ を満たすような $K$ の値の範囲を求めよ。

制御対象
$$G(s)=\frac{1-s}{(s+1{)}^2}$$
に PI 制御器
$$C(s)=K_P+\frac{K_I}{s}(K_P,K_I\text{ は実数})$$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は
$$s(s+1{)}^2+(1-s)(K_{P}s+K_I)=0$$
である。この方程式の根（複素数の範囲で考える）の実部がすべて負となるような点 $(K_P,K_I)$ 全体を $K_P{K}_I$ 平面上の領域 $D$ とするとき、$D$ の面積を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,$$
$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
に、状態フィードバックと目標値 $r$（実数の定数）を用いた制御則
$$u=-Kx+Nr,K=\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)$$
を施す。ここで $N$ は実数の定数（前置ゲイン）である。閉ループ系は漸近安定である。任意の初期状態と任意の定数 $r$ に対して $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=r$ となるような $N$ の値を求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$, $k_1,k_2$ は実数）を施す。$A-bK$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ とする。このとき $\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$ の値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{4}{s(s+1)(s+4)}$$
で与えられる単位負帰還系を考える（$j$ は虚数単位とする）。角周波数 $\omega >0$ に対する位相 $\arg L(j\omega )$ は、$\omega \to +0$ で $-\frac{\pi }{2}$ に近づくように連続的にとる。$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を位相交差角周波数とし、ゲイン余裕を $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$ で定める。$g_m$ の値を求めよ（デシベルではなく比の値で答えよ）。

実数値の入力 $u(t)$ をもつ 2 次元の連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -9& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
を考える。サンプリング周期 $T>0$ で零次ホールドを用いる、すなわち入力を各区間 $jT\le t<(j+1)T$（$j=0,1,2,\dots$）で一定値 $u_j$ とすると、$x_j=x(jT)$ は離散時間系
$$x_{j+1}=\Phi x_j+\Gamma u_j,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\sigma }bd\sigma$$
にしたがう。この離散時間系 $(\Phi ,\Gamma )$ が可制御でなくなるような $T>0$ を小さい方から順に $T_1<T_2<T_3<\cdots$ とするとき、$T_k$（$k$ は正の整数）を $k$ の式で表せ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+2{)}^2},K=\frac{32\sqrt{3}}{9}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。

ゲイン余裕は、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$（$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ となる角周波数）を用いて $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではなく倍率）と定める。位相余裕は、ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$（$|L(j{\omega }_{gc})|=1$ となる角周波数）を用いて ${\varphi }_m=\pi +\arg L(j{\omega }_{gc})$（弧度法）と定める。ただし $\omega >0$ における $\arg L(j\omega )$ は $-\pi /2$ から連続的に変化するようにとる。

ゲイン余裕 $g_m$ と位相余裕 ${\varphi }_m$ を、この順に組 $(g_m,{\varphi }_m)$ で求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(1-s)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)(t\ge 0)$ とする。この系は右半平面 $s=1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

スカラーの線形系
$$\dot{x}(t)=2x(t)+u(t),x(0)=2$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(3x(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし $x(t),u(t)$ は実数値で、$u$ は $J$ が有限になる入力の中から選ぶ。$J$ の最小値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+3)(s+6)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の極、すなわち特性方程式
$$s(s+3)(s+6)+K=0$$
の根がすべて、複素平面上で実部が $-1$ より小さい領域 $\{s\in \mathbb{C}:\mathrm{Re}s<-1\}$ に含まれるような $K$ の範囲を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし入力 $u$ は、$J$ が有限となり $t\to \infty$ で $x(t)\to 0$ となる区分的に連続な関数の中から選ぶものとする。$J$ の最小値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)(s+3)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の特性方程式は $s(s+1)(s+2)(s+3)+K=0$ である。閉ループ系が漸近安定である（特性方程式のすべての根の実部が負である）ような実数 $K$ の範囲を区間で求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Fx(t)$（$F=\left(\begin{array}{cc}{f}_1& f_2\end{array}\right)$、$f_1,f_2$ は実数）を施す。閉ループ系の行列 $A-BF$ の固有値が $-2+j,-2-j$（$j$ は虚数単位）となるように $F$ を定める。このとき、初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ に対する時刻 $t=0$ での入力の値 $u(0)$ を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{3(s+1)}{2s^2}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし（$j$ は虚数単位）、位相余裕を
$$\mathrm{PM}=\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$$
で定める。ただし偏角 $\angle L(j\omega )$ は $\omega >0$ で連続になるように、$\omega \to +0$ で $-\pi$ に近づく値をとるものとする。位相余裕 $\mathrm{PM}$ を弧度法で求めよ。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$, および正定値対称行列 $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ が与えられているとする。$(C,A)$ は可観測、すなわち可観測性行列
$$\mathcal{O}=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
の階数が $n$ であるとする。実対称行列 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ が半正定値であり、代数リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\top }P+C^{\top }C=O$$
を満たすとき、$P$ は正定値であることを証明せよ。ただし、実対称行列が正定値であることと、半正定値かつ正則であることが同値であることは用いてよい。

正の実数 $a,b,c$ が $c<a+b$ を満たすとする。開ループ伝達関数
$$L(s)=\frac{K(s+c)}{s(s+a)(s+b)}$$
（$K$ は実数のゲイン）をもつ単一フィードバック系を考え、その特性多項式を
$${\phi }_K(s)=s(s+a)(s+b)+K(s+c)$$
とする。閉ループ系が安定であるとは、${\phi }_K(s)$ の根の実部がすべて負であることと定める。

このとき、閉ループ系が安定であるための必要十分条件は $K>0$ であることを証明せよ。

ただし、次のフルビッツの安定判別法は用いてよい: 実係数の 3 次多項式 $s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$ の根の実部がすべて負であるための必要十分条件は、フルビッツ行列
$$H=\left(\begin{array}{ccc}{a}_2& a_0& 0\\ 1& a_1& 0\\ 0& a_2& a_0\end{array}\right)$$
の首座小行列式 ${\Delta }_1,{\Delta }_2,{\Delta }_3$（左上の $k\times k$ 部分の行列式, $k=1,2,3$）がすべて正であることである。

実数のパラメータ $z$ が $0<z<1$ を満たすとし、伝達関数
$$G(s)=\frac{2(s+z)}{z(s+1)(s+2)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極は $-1,-2$、零点は $-z$ であり、$G(0)=1$ である。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。

最大行き過ぎ量
$$M=\underset{t\ge 0}{\max }(y(t)-1)$$
を $z$ の式で求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
を考える。状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& k_2& k_3\end{array}\right)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行列）を施した閉ループ系 $\dot{x}=(A-bK)x$ の固有値が $-2,-3,-4$ となるように $K$ を定める（このような $K$ はただ 1 つ存在する）。

初期状態が $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ のとき、時刻 $t=0$ における入力の値 $u(0)$ を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+1{)}^2}(K>0\text{ は定数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。$j$ は虚数単位とし、角周波数 $\omega >0$ に対する位相は $\omega$ について連続になるように
$$\angle L(j\omega )=-\frac{\pi }{2}-2\arctan \omega$$
と定める。

ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし、位相余裕を $\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$ と定める。また、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を $\angle L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数とし、ゲイン余裕を比 $\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではない）で定める。

位相余裕がちょうど $\frac{\pi }{3}$ となるように $K$ を定めたとき、この系のゲイン余裕を求めよ。

制御対象
$$P(s)=\frac{s^2+3s+1}{s(s+1)(s-2)}$$
に比例制御器 $C(s)=K$（$K$ は実数）を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は
$$s(s+1)(s-2)+K(s^2+3s+1)=0$$
である。閉ループ系が安定である、すなわちこの特性方程式の根（複素数の範囲で考える）がすべて実部負となるような実数 $K$ の範囲を求めよ。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系の伝達関数 $G(s)$ は実係数の真にプロパーな有理関数であり、次の条件をすべて満たすとする（$G(s)$ は既約な形で考え、分子と分母に共通因子はないものとする）。

• $G(s)$ の極は $s=-1$ と $s=-2$ のみで、いずれも単純極である。
• $G(s)$ の零点は $s=1$ のみで、単純零点である。
• 直流ゲインは $G(0)=1$ である。

この系に、初期状態を零として単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$
を考える。ここで $a,b$ は実数の定数である。評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+5x_2(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を、$J$ が有限となる区分的に連続な入力 $u(t)$ 全体にわたって最小化する。$J$ の最小値を $a,b$ の式で求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
に、目標値 $r$（実数の定数）を用いた制御則
$$u=-Kx+Nr(K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)\text{ は実数を成分とする }1\times 2\text{ 行列},N\text{ は実数})$$
を施す。$K$ は閉ループ系の行列 $A-BK$ の固有値が $-2,-3$ となるように定め、$N$ は任意の定数 $r$ に対して閉ループ系の出力が $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=r$ をみたすように定める。このときの $N$ の値を求めよ。

1 入力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -36& 0& -13& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
を考える（$x(t)\in {\mathbb{R}}^4$, $u(t)\in \mathbb{R}$）。サンプリング周期 $T>0$ の零次ホールド、すなわち整数 $k\ge 0$ に対して $u(t)=u_k(kT\le t<(k+1)T)$ とし、$x_k=x(kT)$ とおくと、離散時間系
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\sigma }bd\sigma$$
が得られる。この離散時間系が可制御である（$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}\Gamma & \Phi \Gamma & {\Phi }^2\Gamma & {\Phi }^3\Gamma \end{array}\right)=4$ が成り立つ）ことを、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御であるという。

$0<T\le \pi$ の範囲で、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御でなくなるような $T$ をすべて求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=u,y=2x_1+x_2$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(y(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。初期状態を $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ とし、$J$ を有限にする入力 $u(t)$（区分的に連続な関数）全体にわたる $J$ の最小値を求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
を考える。状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& k_2& k_3\end{array}\right)$ は実数の行ベクトル）により、閉ループ系の行列 $A-bK$ の固有値がすべて $0$ になるようにする（デッドビート制御）。このような $K$ を用い、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ としたとき、
$$J=\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$$
の値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{2\sqrt{2}}{(s+1{)}^3}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。

角周波数 $\omega >0$ に対し、$\angle L(j\omega )=-\pi$ となる $\omega$ を位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}$、$|L(j\omega )|=1$ となる $\omega$ をゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}$ とする（ここで位相 $\angle L(j\omega )$ は $\omega \to +0$ で $0$ に近づくように連続にとる）。ゲイン余裕を比の値
$$g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$$
（デシベルではない）、位相余裕を
$${\varphi }_m=\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})(\text{rad})$$
で定める。$g_m$ と ${\varphi }_m$ をこの順に組 $(g_m,{\varphi }_m)$ で求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(s+1)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極はすべて負の実数であるが、零点 $s=-1$ が極より虚軸に近いため、ステップ応答に行き過ぎ（オーバーシュート）が生じる。

初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最大値を与える時刻 $t_p$ と最大値 $y_{\max }$ を、この順に組 $(t_p,y_{\max })$ で求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系（2 重積分器）
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし、入力 $u$ は $J$ が有限となる区分的に連続な関数全体を動くものとする。$J$ の最小値を求めよ。

開ループ伝達関数が $$L(s)=\frac{K}{(s+1{)}^3}(K>0)$$ で与えられる単位負帰還系を考える（$j$ を虚数単位とする）。ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし、位相余裕を $\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$（弧度法、$\angle L(j\omega )$ は $\omega =0$ で $0$ となるように $\omega$ について連続にとった偏角）で定める。また、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を $\angle L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数とし、ゲイン余裕を倍率 $\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$ で定める。位相余裕がちょうど $\frac{\pi }{2}$ となるように $K$ を定めたとき、ゲイン余裕（倍率）を求めよ。

制御対象 $$P(s)=\frac{s+2}{(s-1)(s^2+2s+5)}$$ に比例制御器 $C(s)=K$（$K$ は実数）を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は $$(s-1)(s^2+2s+5)+K(s+2)=0$$ である。閉ループ系が漸近安定となる（特性方程式のすべての根の実部が負となる）ような $K$ の範囲を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$D(s)$ を実係数の $n$ 次モニック多項式、$N(s)$ を次数が $n$ 未満の実係数多項式（零多項式でもよい）とする。$L(s)=N(s)/D(s)$ とおき、すべての $\omega \in \mathbb{R}$ で $D(j\omega )\ne 0$ が成り立つと仮定する（$j$ は虚数単位）。実数 $k$ に対し、多項式
$$P_k(s)=D(s)+kN(s)$$
を（開ループ伝達関数 $kL(s)$ の単位フィードバック系の）特性多項式とよび、$P_k(s)$ のすべての根の実部が負であるとき、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であるという。

いま、$k=1$ の閉ループ系は安定であり、さらに
$$\eta =\underset{\omega \in \mathbb{R}}{\inf }|1+L(j\omega )|$$
が $\eta >0$ を満たすとする。このとき、
$$\left|1-\frac{1}{k}\right|<\eta$$
を満たすすべての正の実数 $k$ について、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: 次数 $n$ のモニックな複素係数多項式 $s^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +c_0$ について、その根の実部の最大値は係数 $(c_0,\dots ,c_{n-1})\in {\mathbb{C}}^n$ の連続関数である。

状態 $x(t)\in \mathbb{R}$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t),x(0)=1$$
を考える。有限時間区間 $[0,T]$、ただし $T=\frac{\log 2}{2}$ において、評価関数
$$J(u)=x(T{)}^2+{\int }_0^T(3x(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。$u$ は $[0,T]$ 上の区分的に連続な実数値関数全体を動くものとする。$J(u)$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行ベクトル）を施す。閉ループ行列 $A-bK$ の固有値が重複度も込めてちょうど $-1,-2,-3$ となるような $K$ 全体の集合を $\mathcal{K}$ とする。

$\mathcal{K}$ に属する $K$ について、$\Vert K{\Vert }^2=k_1^2+k_2^2+k_3^2$ の最小値を求めよ。

制御対象
$$G(s)=\frac{1}{(s+1{)}^3}$$
に PI 制御器
$$C(s)=K_P+\frac{K_I}{s}(K_P,K_I\text{ は実数})$$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系が漸近安定である（閉ループ特性多項式の根の実部がすべて負である）ような点 $(K_P,K_I)$ 全体は、$K_P{K}_I$ 平面上の有界な領域 $D$ をなす。$D$ の面積を求めよ。

実数値の入力 $u(t)$ をもつ連続時間線形系
$${\ddot{x}}_1(t)=-x_1(t)+u(t),{\ddot{x}}_2(t)=-4x_2(t)+u(t)$$
を考え、状態を $x=(x_1,{\dot{x}}_1,x_2,{\dot{x}}_2{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^4$ として $\dot{x}=Ax+bu$ と書く。ここで
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -4& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
である。サンプリング周期 $T>0$ で零次ホールド（$kT\le t<(k+1)T$ で $u(t)=u_k$ と一定に保つ）を用いて離散化すると、$x_k=x(kT)$ は
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\tau }bd\tau$$
に従う。この離散時間系が可制御である（すなわち $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}\Gamma & \Phi \Gamma & {\Phi }^2\Gamma & {\Phi }^3\Gamma \end{array}\right)=4$ となる）ことが成り立たないような $T$ を、$0<T<2\pi$ の範囲ですべて求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K(2s+3)}{s(s+2)(s+3)(s+5)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の極（特性方程式 $s(s+2)(s+3)(s+5)+K(2s+3)=0$ の根）がすべて $\mathrm{Re}s<-1$ を満たすような $K$ の範囲を求めよ。

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& a& 0\\ 0& -2& a\\ 0& 0& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right)$$
とする。この系が可制御でないか、または可観測でない（すなわち $(A,b,c)$ が最小実現でない）ような実数 $a$ をすべて求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^4$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -9& 0& -10& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
を考える。サンプリング周期 $h>0$ の零次ホールド（入力を $u(t)=u_k(kh\le t<(k+1)h)$ と区分的に一定にする）と、時刻 $t=kh$ でのサンプリング $y_k=y(kh)$ によって得られる離散時間系
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,y_k=C{x}_k,\Phi =e^{Ah},\Gamma ={\int }_0^h{e}^{A\tau }d\tau B$$
を考える（$x_k=x(kh)$）。$0<h\le 2\pi$ の範囲で、この離散時間系が「可制御でない、または可観測でない」ような $h$ の値をすべて求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-kx(t)$ を施す。ここで $k=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする行ベクトルであり、閉ループ系 $\dot{x}=(A-bk)x$ の極（$A-bk$ の固有値）が $-2,-1+i,-1-i$ となるように定める（$i$ は虚数単位）。

この閉ループ系を初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ から動かしたとき、
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt$$
の値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+3)(s+6)}(K\text{ は実数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の極とは、特性方程式
$$s(s+3)(s+6)+K=0$$
の根（複素数の範囲で考える）のこととする。

閉ループ系のすべての極の実部が $-1$ より小さくなる（すなわち、すべての極が複素平面上の直線 $\mathrm{Re}s=-1$ より左にある）ような $K$ の値の範囲を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=-x_1(t)+u(t)$$
を考える。初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ から、時刻 $T=\pi$ に $x(\pi )=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ となるように状態を移す入力 $u$ を考える。ただし $u$ は区間 $[0,\pi ]$ 上の区分的に連続な実数値関数全体を動くものとする。このような入力のうち、入力エネルギー
$$E(u)={\int }_0^{\pi }u(t{)}^{2}dt$$
を最小にするときの $E(u)$ の最小値を求めよ。

$n,m$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ とする。$(A,B)$ は可制御、すなわち可制御性行列
$$\mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times nm}$$
の階数が $n$ であるとする。

任意の状態フィードバックゲイン $K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ と、閉ループ行列 $F=A-BK$ の任意の固有値 $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して、
$${\dim }_{\mathbb{C}}\ker (\lambda I-F)\le m$$
が成り立つこと（すなわち、状態フィードバックで配置したどの極の幾何的重複度も入力の本数 $m$ 以下であること）を証明せよ。ここで $\ker$ は ${\mathbb{C}}^n$ における核とし、$I$ は $n$ 次単位行列とする。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ とする。系 $\dot{x}=Ax+Bu$, $y=Cx$ に、出力の積分 $\dot{z}=-y$（$z\in {\mathbb{R}}^p$）を付け加えた拡大系
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)=\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)+\tilde{B}u,\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ -C& O\end{array}\right),\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$$
を考える（$\tilde{A}$ は $(n+p)$ 次正方行列）。

拡大系 $(\tilde{A},\tilde{B})$ が可制御であるための必要十分条件は、「$(A,B)$ が可制御」かつ
$$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right)=n+p$$
であることを証明せよ。

ただし、次の可制御性の判定法（PBH テスト）は用いてよい: $F\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$, $G\in {\mathbb{R}}^{N\times r}$ について、$(F,G)$ が可制御であることと、すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}\lambda I_N-F& G\end{array}\right)=N$ であることは同値である。