制御理論の問題

特性多項式を展開する。
$$s(s+1)(s-2)=s(s^2-s-2)=s^3-s^2-2s$$
より
$$D(s)=s^3+(K-1)s^2+(3K-2)s+K.$$

ラウス表を作る。
$$\begin{array}{ccc}{s}^3& 1& 3K-2\\ s^2& K-1& K\\ s^1& \frac{(K-1)(3K-2)-K}{K-1}& 0\\ s^0& K& \end{array}$$
ここで
$$(K-1)(3K-2)-K=3K^2-5K+2-K=3K^2-6K+2.$$

ラウスの安定判別法により、すべての根の実部が負であるための必要十分条件は第 1 列がすべて正（符号変化なし、かつ 0 を含まない）であることである。
- $s^2$ 行: $K-1>0$、すなわち $K>1$。
- $s^0$ 行: $K>0$。
- $s^1$ 行: $K-1>0$ のもとで $3K^2-6K+2>0$。

$3K^2-6K+2=0$ の解は
$$K=\frac{6\pm \sqrt{36-24}}{6}=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
なので、$3K^2-6K+2>0$ は $K<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ または $K>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。$K>1$ と合わせると $K>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$。このとき $K>0$ も満たされ、さらに $3K-2>3\cdot 1-2>0$ なので $s^1$ の係数も正であり、フルビッツの条件（係数がすべて正かつ $(K-1)(3K-2)>K$）とも一致する。

境界 $K=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ では $s^1$ 行が 0 となり、補助方程式 $(K-1)s^2+K=0$ から虚軸上の根 $s=\pm j\sqrt{K/(K-1)}$ をもつので安定ではない。

よって求める範囲は
$$K>1+\frac{\sqrt{3}}{3},\text{すなわち}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},\infty \right).$$

$s(s+1)(s-2)=s^3-s^2-2s$ なので、特性方程式は $s^3+(K-1)s^2+(3K-2)s+K=0$ となる。
3次式 $s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$ の根の実部がすべて負であるための必要十分条件は、$a_2>0,a_1>0,a_0>0,a_2{a}_1>a_0$ である（Routh–Hurwitz の判別法）。
ここで $a_2=K-1,a_1=3K-2,a_0=K$ とおく。
- $K-1>0$ より $K>1$
- $3K-2>0$ より $K>2/3$
- $K>0$
- $(K-1)(3K-2)>K$ より $3K^2-6K+2>0$。これは $K<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ または $K>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ と同値。

$K>1$ との共通部分をとると $K>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ となる。
検算：$K=2$ のとき $s^3+s^2+4s+2$ で $1\cdot 4>2$ なので安定。$K=1.5$ のとき $0.5\cdot 2.5=1.25<1.5$ なので不安定。境界 $K=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 1.577$ とも合う。境界では $a_2{a}_1=a_0$ となり、純虚数の根をもつので安定ではない。したがって端点は含まない。

答え：$K>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$