制御理論の問題

まず特性多項式を展開する。
$$s(s+3)=s^2+3s,(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$$
より、$t=s^2+3s$ とおくと
$$s(s+1)(s+2)(s+3)=t(t+2)=(s^2+3s{)}^2+2(s^2+3s)=s^4+6s^3+11s^2+6s.$$
よって特性方程式は
$$s^4+6s^3+11s^2+6s+K=0$$
である。

ラウス表を作る。
$$\begin{array}{cccc}{s}^4& 1& 11& K\\ s^3& 6& 6& 0\\ s^2& \frac{6\cdot 11-1\cdot 6}{6}=10& \frac{6K-1\cdot 0}{6}=K& \\ s^1& \frac{10\cdot 6-6K}{10}=\frac{60-6K}{10}& & \\ s^0& K& & \end{array}$$

ラウス・フルビッツの安定判別法により、すべての根の実部が負であるための必要十分条件は、第 1 列 $1,6,10,\frac{60-6K}{10},K$ がすべて正であることである。
- $\frac{60-6K}{10}>0$ より $K<10$
- $K>0$

したがって求める範囲は $0<K<10$ である。

（確認）$K=10$ のとき $s^2$ の行から補助方程式 $10s^2+10=0$ が得られ、$s=\pm j$ の虚軸上の根をもつので安定限界である。$K=0$ のときは $s=0$ が根になり漸近安定ではない。

答えは区間 $(0,10)$ である。

$s(s+1)(s+2)(s+3)=s^4+6s^3+11s^2+6s$ なので特性方程式は $s^4+6s^3+11s^2+6s+K=0$。\nラウス表: 第1行 $1,11,K$、第2行 $6,6$、第3行 $b_1=\frac{6\cdot 11-1\cdot 6}{6}=10,b_2=\frac{6K-0}{6}=K$、第4行 $c_1=\frac{10\cdot 6-6\cdot K}{10}=6-\frac{3K}{5}$、第5行 $K$。\n第1列 $1,6,10,6-\frac{3K}{5},K$ がすべて正 $⟺K<10$ かつ $K>0$。よって $0<K<10$。\n検算: $K=10$ のとき $s^4+6s^3+11s^2+6s+10=(s^2+1)(s^2+6s+10)$ となり $s=\pm i$ が虚軸上の根（境界）。$K=0$ では $s=0$ が根（境界）。$K=5$ ではラウス第1列が正で安定、$K=-1$ や $K=11$ では符号変化があり不安定。