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技能一覧 › 大学院数学 制御理論

伝達関数と極・零点

線形微分方程式または状態方程式から伝達関数 を求め、その極（分母の根）と零点（分子の根）を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  10. 因数分解 （中学数学 数と式）
  11. 3 次式までの展開と因数分解 （数学I 数と式）
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  13. 多項式の微分 （数学II 微分法と積分法）
  14. 多項式の不定積分 （数学II 微分法と積分法）
  15. 等間隔にならんだ数の和 （算数 計算と数のきまり）
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  17. 数列の極限 （数学III 極限）
  18. 関数の極限 （数学III 極限）
  19. 積と商の微分 （数学III 微分法）
  20. 合成関数の微分 （数学III 微分法）
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  22. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
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  24. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
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  32. 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
  33. 三角関数の導関数 （数学III 微分法）
  34. 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
  35. 指数の拡張と指数関数 （数学II 指数関数と対数関数）
  36. 対数の定義と性質 （数学II 指数関数と対数関数）
  37. 自然対数の底 （数学III 極限）
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  39. 基本的な関数の不定積分 （数学III 積分法）
  40. 置換積分 （数学III 積分法）
  41. 部分積分 （数学III 積分法）
  42. 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
  43. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
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  49. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
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  52. 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
  53. 関数 の式と変域 （中学数学 関数）
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  56. 増減表と極値 （数学II 微分法と積分法）
  57. 関数の連続性と中間値の定理 （数学III 極限）
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  59. 第 2 次導関数とグラフの凹凸 （数学III 微分法）
  60. 増減・凹凸・漸近線とグラフ （数学III 微分法）
  61. テイラー展開 （大学数学 微分積分）
  62. 無限等比級数と無限級数 （数学III 極限）
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  66. 三角関数の合成 （数学II 三角関数）
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  68. 1 階線形微分方程式 （大学数学 微分方程式）
  69. 定数係数 2 階線形（非斉次） （大学数学 微分方程式）
  70. ラプラス変換による微分方程式の解法 （大学数学 フーリエ解析・ラプラス変換）
  71. 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
  72. 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
  73. 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
  74. 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
  75. 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
  76. 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
  77. 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
  78. ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
  79. 行列の和・積と 2 次の逆行列 （大学数学 線形代数）
  80. 掃き出し法と連立 1 次方程式 （大学数学 線形代数）
  81. 掃き出し法による逆行列 （大学数学 線形代数）

説明

入力 から出力 が決まる線形のシステムについて、初期値をすべて としてラプラス変換したときの比 を伝達関数といいます。状態方程式 で書かれたシステムでは 、線形微分方程式で書かれたシステムでは係数を読むだけで が得られます。 を約分した有理式 の分母の根を極、分子の根を零点といいます。極と零点は、応答の速さや振動のしかた、安定かどうかを調べるときの出発点になります。

なぜそうしてよいのか

初期値を として をラプラス変換すると、 より です。これを と整理し、 が正則な （ となる ）では となります。 なので

です。微分方程式を時間領域で解く代わりに、ラプラス変換で代数の掛け算に直したわけです。入力を変えても掛ける因子 は変わらないので、これをシステム固有の量として と呼びます。初期値を にするのは、初期値から出てくる項が入力 に比例しないからです（初期値つきの解は、 に初期値の項を足したものになります）。

を逆行列の公式や掃き出し法で求めると、各成分は「 の多項式 」の形になります。たとえば では です。そのため は有理式になり、分母の候補は です。極 では が無限大になり、時間応答には の形の成分が現れます。零点 では となり、 の形の入力は出力に現れません。分子と分母に共通因子があると、その因子は入出力の関係には現れないので、約分してから極・零点を読みます。

微分方程式 で与えられた場合も、初期値 でラプラス変換すると となるので、 がすぐに読み取れます。

手順

  1. 初期値をすべて としてラプラス変換する。状態方程式なら 、微分方程式なら を に置き換える。

  2. 状態方程式の場合は を作り、逆行列 を求める（ なら公式、大きければ掃き出し法）。

  3. を、この順に掛けて計算する（ は 、 は なので結果は 1 つの有理式）。微分方程式なら とする。

  4. 分子・分母を因数分解し、共通因子があれば約分して の形にする。

  5. の根を極、 の根を零点として求める（複素数の根も含める）。

例題

状態方程式 において , , とする。伝達関数 を求めよ。

例題の解答

手順 1: 初期値 でラプラス変換すると 。

手順 2: で、。 の逆行列の公式から

手順 3: 右から を掛けると 。左から を掛けると

手順 4: で、分子と分母に共通因子はない。

手順 5: 極は 、零点は である。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること