制御理論の問題

連続時間系の性質. $A$ は可制御正準形（コンパニオン形）なので、特性多項式は
$$\det (sI-A)=s^4+13s^2+36=(s^2+4)(s^2+9)$$
であり、固有値は $\lambda =\pm 2i,\pm 3i$ の 4 つで互いに異なる。よって $A$ は対角化可能である。また $(A,b)$ は可制御正準形なので可制御であり、PBH 判定法より、$A$ の各固有値 ${\lambda }_j$ に対する左固有ベクトル $w_j$（$w_{j}A={\lambda }_j{w}_j$）について $w_{j}b\ne 0$ である。

$\Phi$ の固有構造. $\Phi =e^{AT}$ は $A$ と同じ固有ベクトルで対角化され、$w_j\Phi =e^{{\lambda }_{j}T}{w}_j$ である。$\Phi$ の固有値は ${\mu }_j=e^{{\lambda }_{j}T}$ である。

(i) ${\mu }_j$ が 2 つ一致する場合は可制御でない. ${\mu }_i={\mu }_j(i\ne j)$ ならば、$\Phi$ は対角化可能なのでこの固有値に対する左固有空間は 2 次元以上である。$\Gamma$ は 1 本のベクトルなので、その左固有空間の中に $w\Gamma =0$ を満たす $w\ne 0$ がとれる（1 つの線形条件で次元は高々 1 しか下がらない）。PBH 判定法より $(\Phi ,\Gamma )$ は可制御でない。

(ii) ${\mu }_j$ がすべて異なる場合は可制御. このとき $\Phi$ の左固有ベクトルは（定数倍を除き）$w_1,\dots ,w_4$ だけである。
$$w_j\Gamma ={\int }_0^T{w}_j{e}^{A\sigma }bd\sigma =\left({\int }_0^T{e}^{{\lambda }_j\sigma }d\sigma \right)w_{j}b=\frac{e^{{\lambda }_{j}T}-1}{{\lambda }_j}{w}_{j}b({\lambda }_j\ne 0).$$
ここで $e^{{\lambda }_{j}T}=1$ とすると ${\lambda }_j$ は純虚数なので $e^{{\bar{\lambda }}_{j}T}=\overline{e^{{\lambda }_{j}T}}=1$ となり、${\bar{\lambda }}_j\ne {\lambda }_j$ も同じ $\mu$ を与えて仮定に反する。よって $e^{{\lambda }_{j}T}\ne 1$ で、$w_{j}b\ne 0$ と合わせて $w_j\Gamma \ne 0$。PBH 判定法より可制御である。

以上より、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御でないのは、異なる固有値 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ で $e^{{\lambda }_{i}T}=e^{{\lambda }_{j}T}$、すなわち
$$({\lambda }_i-{\lambda }_j)T\in 2\pi i\mathbb{Z}\setminus \{0\}$$
となるときに限る。

条件の列挙. 固有値の差の虚部の絶対値は次のとおり。
- $2i$ と $-2i$: 差 $4i$。$4T=2\pi m$ より $T=\frac{m\pi }{2}$。$0<T\le \pi$ では $T=\frac{\pi }{2},\pi$。
- $3i$ と $-3i$: 差 $6i$。$T=\frac{m\pi }{3}$。$0<T\le \pi$ では $T=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi$。
- $2i$ と $3i$（および $-2i$ と $-3i$）: 差 $i$。$T=2\pi m$ で、$0<T\le \pi$ には存在しない。
- $2i$ と $-3i$（および $-2i$ と $3i$）: 差 $5i$。$T=\frac{2m\pi }{5}$。$0<T\le \pi$ では $T=\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5}$（$m=3$ では $\frac{6\pi }{5}>\pi$）。

したがって求める $T$ の集合は
$$\left\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{5},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{5},\pi \right\}$$
である。

$A$ は可制御標準形（コンパニオン行列）で、特性多項式は $s^4+13s^2+36=(s^2+4)(s^2+9)$。固有値は $\pm 2i,\pm 3i$ で相異なる。したがって $(A,b)$ は可制御であり、各固有値の幾何的重複度は 1 である。

1 入力系のサンプル値系の可制御性の条件（Kalman–Ho–Narendra）: 連続時間系が可制御のとき、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御でなくなるための必要十分条件は、ある相異なる固有値 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ について $e^{{\lambda }_{i}T}=e^{{\lambda }_{j}T}$、すなわち ${\lambda }_i-{\lambda }_j=\frac{2\pi ik}{T}$（$k$ は 0 でない整数）が成り立つことである。（固有値が相異なる場合、$\Phi =e^{AT}$ の固有値が重なると、重なった固有値に対応する固有空間が 2 次元になり、1 入力では可制御にできない。逆に $e^{{\lambda }_{i}T}$ がすべて相異なれば、$\Gamma$ の各固有成分は $(e^{\lambda T}-1)/\lambda \cdot b$ の成分で $\lambda T\notin 2\pi i\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ のとき 0 でないので可制御。）

固有値の差の虚部の絶対値は $d\in \{1,4,5,6\}$（$3-2=1$, $2-(-2)=4$, $3-(-2)=5$, $3-(-3)=6$, $2-(-3)=5$, $-2-(-3)=1$）。条件は $dT=2\pi k$、すなわち $T=2\pi k/d$（$k\ge 1$）。

• $d=1$: $T=2\pi k$ → $0<T\le \pi$ に該当なし
• $d=4$: $T=\pi k/2$ → $T=\pi /2,\pi$
• $d=5$: $T=2\pi k/5$ → $T=2\pi /5,4\pi /5$
• $d=6$: $T=\pi k/3$ → $T=\pi /3,2\pi /3,\pi$

以上より $T\in \{\pi /3,2\pi /5,\pi /2,2\pi /3,4\pi /5,\pi \}$。

検算: 例えば $T=\pi$ では $e^{2iT}=e^{-2iT}=1$ かつ $e^{3iT}=e^{-3iT}=-1$ となり $\Phi$ の固有値が重なる。$T=\pi /2$ では $e^{2iT}=-1=e^{-2iT}$。$T=2\pi /5$ では $e^{3iT}=e^{3\cdot 2\pi i/5}$, $e^{-2iT}=e^{-4\pi i/5}=e^{6\pi i/5}$ で一致する。