ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式

ケーリー・ハミルトンの定理で行列の多項式を次数下げし、最小多項式を求められる

前提

固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

説明

$n$ 次正方行列 $A$ の特性多項式 $p (λ) = det (A - λ E)$ の $λ$ に $A$ を代入すると、零行列 $O$ になります。これをケーリー・ハミルトンの定理といいます。この定理を使うと、 $A^{10}$ のような次数の高い行列の多項式を、 $n - 1$ 次以下の式に書き直せます（次数下げ）。また、 $f (A) = O$ となる多項式のうち次数が最小のもの（最小多項式）を、特性多項式の因数の中から効率よく見つけられます。最小多項式は、行列の累乗の計算や行列の構造を調べるときの基本的な道具です。

なぜそうしてよいのか

定理が成り立つ理由. $p (λ) = det (A - λ E) = c_{n} λ^{n} + \dots + c_{1} λ + c_{0}$ とおき、 $p (A) = c_{n} A^{n} + \dots + c_{1} A + c_{0} E$ と定めます（定数項には $E$ を付けます）。 $M = A - λ E$ の余因子行列 $M ~$ を考えます。 $M ~$ は、 $(i, j)$ 成分を「 $M$ から第 $j$ 行と第 $i$ 列を取り除いた行列式に $(- 1)^{i + j}$ を掛けたもの」とする行列です。行列式の余因子展開から $M M ~ = det (M) E$ が成り立ちます。 $M ~$ の各成分は $λ$ の $n - 1$ 次以下の多項式です。そのため、 $λ$ を含まない定数行列 $B_{0}, \dots, B_{n - 1}$ を用いて $M ~ = \sum_{k = 0}^{n - 1} λ^{k} B_{k}$ と書けます。すると $(A - λ E) \sum_{k = 0}^{n - 1} λ^{k} B_{k} = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} λ^{k} E$ が $λ$ についての恒等式になります。両辺の $λ^{k}$ の係数を成分ごとに比べると、次の式が得られます。 $A B_{0} = c_{0} E$ 、 $A B_{k} - B_{k - 1} = c_{k} E (1 \leq k \leq n - 1)$ 、 $- B_{n - 1} = c_{n} E$ 。 $λ^{k}$ の係数の式に左から $A^{k}$ を掛けて、すべて足し合わせます。左辺は $A B_{0} + \sum_{k = 1}^{n - 1} (A^{k + 1} B_{k} - A^{k} B_{k - 1}) - A^{n} B_{n - 1}$ となり、隣り合う項が打ち消し合って $O$ になります。右辺は $p (A)$ です。よって $p (A) = O$ です。

次数下げ. 多項式 $f (x)$ を $p (x)$ で割り、 $f (x) = q (x) p (x) + r (x)$ （ $r$ の次数は $n$ 未満）とします。 $A$ の多項式どうしは掛ける順序を入れ替えても同じ結果になるので、 $x$ に $A$ を代入してもこの等式はそのまま成り立ちます。したがって $f (A) = q (A) p (A) + r (A) = r (A)$ です。つまり、余り $r (x)$ を求めるだけで $f (A)$ が計算できます。

最小多項式. $f (A) = O$ をみたす $0$ でない多項式のうち、次数が最小で最高次の係数が $1$ のものを最小多項式 $m (x)$ といいます。ケーリー・ハミルトンの定理により、このような多項式は必ず存在します。 $m$ には次の 2 つの性質があります。1 つ目に、 $f (A) = O$ なら、 $f = q m + r$ （ $r$ の次数は $m$ の次数未満）と割ると $r (A) = f (A) - q (A) m (A) = O$ になります。 $m$ の次数は最小なので $r = 0$ です。つまり $m$ は $f$ を割り切り、特に $p$ を割り切ります。2 つ目に、 $A v = α v$ （ $v \neq = 0$ ）なら、 $0 = m (A) v = m (α) v$ より $m (α) = 0$ です。つまり、すべての固有値が $m$ の根になります。この 2 つを合わせると、次のことがわかります。 $p (λ) = (- 1)^{n} (λ - α_{1})^{n_{1}} \dots (λ - α_{s})^{n_{s}}$ （ $α_{i}$ は相異なる。複素数の範囲で分解する）のとき、 $m (x)$ は $(x - α_{1})^{k_{1}} \dots (x - α_{s})^{k_{s}}$ （ $1 \leq k_{i} \leq n_{i}$ ）の形のどれかに限られます。

手順

特性多項式 $p (λ) = det (A - λ E)$ を計算し、因数定理などを使って $(- 1)^{n} (λ - α_{1})^{n_{1}} \dots (λ - α_{s})^{n_{s}}$ （ $α_{i}$ は相異なる）と因数分解する。
次数下げでは、 $f (x)$ を $p (x)$ （またはわかっていれば最小多項式）で割って余り $r (x)$ を求め、 $f (A) = r (A)$ とする。余りの定数項 $c$ は $c E$ に置き換える。
最小多項式を求めるときは、まず候補 $(x - α_{1})^{k_{1}} \dots (x - α_{s})^{k_{s}}$ （ $1 \leq k_{i} \leq n_{i}$ ）を書き出し、次数の小さい順に並べる。
候補の $x$ に $A$ を代入して計算する。はじめて $O$ になった候補が最小多項式である。最後の候補 $(- 1)^{n} p (x)$ はケーリー・ハミルトンの定理により必ず $O$ になる。

例題

$A = 111111111$ の最小多項式 $m (x)$ を求めよ（ $x$ の多項式で答えよ）。

例題の解答

【手順1】 $t = 1 - λ$ とおく。サラスの方法で計算すると $det (A - λ E) = t^{3} + 1 + 1 - 3 t = t^{3} - 3 t + 2$ である。 $t = 1$ を代入すると $0$ になるので、因数定理から $t^{3} - 3 t + 2 = (t - 1)^{2} (t + 2)$ と因数分解できる。 $t - 1 = - λ$ 、 $t + 2 = 3 - λ$ なので、 $p (λ) = λ^{2} (3 - λ) = - λ^{2} (λ - 3)$ となる。よって固有値は $0$ （重複度 $2$ ）と $3$ （重複度 $1$ ）である。
【手順3】固有値 $0$ と $3$ はどちらも $m$ の根でなければならない。そのため、候補は次数の小さい順に $x (x - 3)$ 、 $x^{2} (x - 3)$ の 2 つである。 $x$ だけや $x - 3$ だけは候補にならない。
【手順4】次数の小さい $x (x - 3)$ から調べる。 $A^{2}$ のどの成分も $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$ なので、 $A^{2} = 3 A$ である。よって $A (A - 3 E) = A^{2} - 3 A = O$ となり、最小多項式は $m (x) = x (x - 3) = x^{2} - 3 x$ である。
（参考：手順2 の次数下げを $m$ で行う例を挙げる。 $x^{2} \equiv 3 x$ を繰り返し使うと、 $x^{5}$ を $x^{2} - 3 x$ で割った余りは $81 x$ になる。したがって $A^{5} = 81 A$ と求められる。）

答え: $x^{2} - 3 x$

よくある誤り

$p (λ) = det (A - λ E)$ に $λ = A$ を入れて「 $det (A - A) = det O = 0$ だから $p (A) = O$ 」とする誤り。この議論で出てくる $0$ はスカラーだが、示したい $p (A) = O$ は行列の等式なので、証明になっていない。正しくは、余因子行列を使って係数を比べる議論が必要である。
最小多項式は特性多項式と同じだと決めつける誤り。例えば 2 次の $A = 2 E$ では $p (λ) = (λ - 2)^{2}$ だが、 $A - 2 E = O$ なので最小多項式は $x - 2$ である。必ず次数の小さい候補から代入して確かめる。
候補から固有値の因子を落とす誤り。例えば上の例で $m (x) = x$ を候補に入れてしまう（実際 $A \neq = O$ ）。正しくは、すべての固有値 $α_{i}$ について、因子 $(x - α_{i})$ が少なくとも 1 回は現れる。
定数項に $E$ を付け忘れて $A^{2} - 5 A + 6 = O$ と書く誤り。正しくは $A^{2} - 5 A + 6 E = O$ である。次数下げで余りが $a x + b$ になったときも、 $f (A) = a A + b E$ と書く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
離散時間系のデッドビート制御（大学院数学制御理論）