線形代数の問題

ステップ 1：特性多項式を求める。

$A$ の特性多項式は
$$\det (xE-A)=\left|\begin{array}{cc}x-1& -2\\ -3& x-2\end{array}\right|=(x-1)(x-2)-6=x^2-3x-4$$
です。2 次正方行列では、これは $x^2-(\mathrm{tr}A)x+\det A$ と一致します。実際、$\mathrm{tr}A=1+2=3$、$\det A=1\cdot 2-2\cdot 3=-4$ です。

ステップ 2：ケーリー・ハミルトンの定理を使う。

ケーリー・ハミルトンの定理より、特性多項式に $A$ を代入すると零行列になります。
$$A^2-3A-4E=O\text{すなわち}{A}^2=3A+4E.(1)$$
（確認：$A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right)$、$3A+4E=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right)$ で一致します。）

ステップ 3：$(1)$ を繰り返し使って次数を下げる。

$A^2$ が現れるたびに $(1)$ で $3A+4E$ に置き換えます。
$$A^3=A\cdot A^2=A(3A+4E)=3A^2+4A=3(3A+4E)+4A=13A+12E,$$
$$A^4=A\cdot A^3=A(13A+12E)=13A^2+12A=13(3A+4E)+12A=51A+52E.$$

（別の見方：$x^4$ を $x^2-3x-4$ で割った余りが $51x+52$ です。$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$ なので、余り $ax+b$ は $4a+b=4^4=256$、$-a+b=(-1{)}^4=1$ から $a=51,b=52$ と求められ、結果が一致します。）

ステップ 4：$p,q$ が一意であること。

$A$ は $E$ の実数倍ではないので、$E$ と $A$ は一次独立です。よって $A^4=pA+qE$ を満たす $p,q$ はただ 1 組で、
$$(p,q)=(51,52).$$

$A$ の特性多項式は ${\lambda }^2-3\lambda -4$ なので、ケーリー・ハミルトンの定理より $A^2=3A+4E$ である。

これを使って次数を下げる。
$A^3=3A^2+4A=3(3A+4E)+4A=13A+12E$
$A^4=13A^2+12A=13(3A+4E)+12A=51A+52E$

検算として、$A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right)$ を 2 乗すると $A^4=\left(\begin{array}{cc}103& 102\\ 153& 154\end{array}\right)$ となる。一方 $51A+52E=\left(\begin{array}{cc}51+52& 102\\ 153& 102+52\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}103& 102\\ 153& 154\end{array}\right)$ で一致する。

よって $(p,q)=(51,52)$ である。