線形代数の問題

手順 1：$A$ を行基本変形で階段行列にする。

第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$
となる。さらに第 3 行から第 2 行を引くと
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
となる。0 でない行は 2 本なので $\mathrm{rank}A=2$ である。

手順 2：像の次元を求める。

$\mathrm{Im}f$ は $A$ の列ベクトルで張られる部分空間であり、その次元は $\mathrm{rank}A$ に等しい。階段行列で主成分（ピボット）があるのは第 1 列と第 3 列なので、元の $A$ の第 1 列と第 3 列
$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
が $\mathrm{Im}f$ の基底になる。よって $\dim \mathrm{Im}f=2$ である。

手順 3：次元定理で核の次元を求める。

定義域は ${\mathbb{R}}^4$ なので $\dim {\mathbb{R}}^4=4$ である。次元定理 $\dim {\mathbb{R}}^4=\dim \ker f+\dim \mathrm{Im}f$ より
$$\dim \ker f=4-2=2$$
となる。

確認：核の基底を直接求める。

$A\mathbf{x}=0$ は、階段行列から $x_1+2x_2+x_4=0,x_3+x_4=0$ と同値である。$x_2=s,x_4=t$ とおくと $x_1=-2s-t,x_3=-t$ なので
$$\mathbf{x}=s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$
と表せる。この 2 つのベクトルは一次独立なので $\ker f$ の基底であり、$\dim \ker f=2$ となって次元定理の結果と一致する。

したがって、答えは $(2,2)$ である。

A の階数を行基本変形で求める。R2→R2−2R1 で (0,0,1,1)、R3→R3−R1 で (0,0,1,1)。よって
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$
さらに R3→R3−R2 で第3行は 0 になる。階数は 2 なので $\dim \mathrm{Im}f=2$。次元定理より $\dim \ker f=4-2=2$。
検算: 核の元として $x_3=-x_4$, $x_1=-2x_2-x_4$ より、$(-2,1,0,0)$ と $(-1,0,-1,1)$ が基底。A に代入すると、第1式は $-2+2=0$、$-1+0+1=0$。第2式は $-4+4=0$、$-2-1+3=0$。第3式は $-2+2=0$、$-1-1+2=0$。よって成り立つ。答えは (2, 2)。