線形代数の問題

手順1：表現行列を書く。 $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ となる行列は
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$
である。

手順2：核を求める。 $\ker f$ は連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=0$ の解全体である。$A$ を行基本変形する。第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$
第 2 行と第 3 行を入れかえ、新しい第 2 行を $-1$ 倍すると
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
第 1 行から第 2 行の $2$ 倍を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
よって $x+3z=0,y-2z=0$。$z=t$（$t$ は任意の実数）とおくと
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$
したがって $\ker f$ の基底は $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ の 1 本で、$\dim \ker f=1$。

手順3：次元定理を使う。 定義域は ${\mathbb{R}}^3$ なので $\dim {\mathbb{R}}^3=3$。次元定理 $\dim {\mathbb{R}}^3=\dim \ker f+\dim \mathrm{Im}f$ より
$$\dim \mathrm{Im}f=3-1=2$$

確認： 階段行列の主成分（ピボット）は第 1 列・第 2 列にあるので、$A$ の第 1 列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ と第 2 列 $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ が $\mathrm{Im}f$ の基底になる。これは $\mathrm{rank}A=2$ とも一致する。

答えは $(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)=(1,2)$。

$f$ の表現行列は $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$。第2行は第1行の2倍なので、第2行を消すと $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ が残る。この2行は比例しないので一次独立で、階数は2。したがって $\dim \mathrm{Im}f=2$。次元定理より $\dim \ker f=3-2=1$。
検算：$x+2y-z=0$ かつ $x+y+z=0$ を解く。差をとると $y-2z=0$ なので $y=2z$、$x=-3z$。よって $\ker f$ は $(-3,2,1{)}^T$ で張られる1次元空間で、$\dim \ker f=1$ と一致する。確認として $(-3,2,1)$ を代入すると、第1成分 $-3+4-1=0$、第2成分 $-6+8-2=0$、第3成分 $-3+2+1=0$ となり、確かに核に属する。