線形代数の問題

手順 1：標準基底に関する表現行列 $A$ を求める。
$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y\\ 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ より
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right).$$

手順 2：基底の取りかえ行列 $P$ を求める。
標準基底から基底 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ への取りかえ行列は、${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ を列に並べた行列である。
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),\det P=1\cdot 2-1\cdot 1=1\ne 0.$$
したがって $P$ は正則で、
$$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

手順 3：$B=P^{-1}AP$ を計算する。
$$AP=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 3& 3\end{array}\right),$$
$$B=P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 0& -2\end{array}\right).$$

確認： $f({\mathbf{u}}_1)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=3{\mathbf{u}}_1+0{\mathbf{u}}_2$、$f({\mathbf{u}}_2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=7{\mathbf{u}}_1-2{\mathbf{u}}_2$（実際 $7\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$）であり、$B$ の第 1 列・第 2 列と一致する。

よって $b_{12}=7$, $b_{22}=-2$ で、答えは $(7,-2)$。

$f({\mathbf{u}}_2)=f(1,2)=(1+4,3)=(5,3{)}^T$。これを ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ の線形結合で表す。$5=p+q$, $3=p+2q$ より $q=-2$, $p=7$。よって $f({\mathbf{u}}_2)=7{\mathbf{u}}_1-2{\mathbf{u}}_2$ なので $b_{12}=7$, $b_{22}=-2$。
検算: $7(1,1)-2(1,2)=(5,3)$ で一致。
別の方法: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$, $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$。$AP=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 3& 3\end{array}\right)$。$P^{-1}AP$ の第2列は $(2\cdot 5-3,-5+3)=(7,-2)$。一致する。トレース $-1+...$ も確認: $B$ の第1列は $f(u_1)=(3,3)=3u_1$ なので $B=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 0& -2\end{array}\right)$、トレース1、$A$ のトレース1で一致、行列式 $-6$ も一致。