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線形代数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学線形代数

$R^{2}$ の列ベクトル $x = (x_{1} x_{2})$ , $y = (y_{1} y_{2})$ に対して
$⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$
と定めると、これは $R^{2}$ の内積になる。ノルムを $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ とする。この内積に関して、基底
$a_{1} = (11), a_{2} = (10)$
に $a_{1}, a_{2}$ の順でグラム・シュミットの直交化を行って正規直交基底 $e_{1}, e_{2}$ を作る。 $e_{2}$ の第 1 成分と第 2 成分をこの順に組で求めよ。

この問題で使うもの

内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

グラム・シュミットの直交化を使う。ただし内積は標準内積ではなく $2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ なので、内積もノルムもこの式で計算する。

ヒント 2

$b_{2} = a_{2} - \frac{⟨ a _{2} , a _{1} ⟩}{⟨ a _{1} , a _{1} ⟩} a_{1}$ を求め、 $e_{2} = \frac{b _{2}}{∥ b _{2} ∥}$ とする。

ヒント 3

$⟨ a_{1}, a_{1} ⟩ = 3$ , $⟨ a_{2}, a_{1} ⟩ = 2$ より $b_{2} = (1/3 - 2/3)$ 。あとはこの内積でのノルムで割る。

答えと解説

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(\frac{6}{6}, - \frac{6}{3})

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解説を読む

グラム・シュミットの直交化を、与えられた内積 $⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ で行う。標準内積ではないので、内積とノルムはすべてこの式で計算することに注意する。

手順 1： $e_{1}$ を作る。
$⟨ a_{1}, a_{1} ⟩ = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$
より $∥ a_{1} ∥ = 3$ 。よって
$e_{1} = \frac{1}{3} (11) .$

手順 2： $a_{2}$ から $e_{1}$ 方向の成分を引く。
$b_{2} = a_{2} - ⟨ a_{2}, e_{1} ⟩ e_{1} = a_{2} - \frac{⟨ a _{2} , a _{1} ⟩}{⟨ a _{1} , a _{1} ⟩} a_{1} .$
ここで $⟨ a_{2}, a_{1} ⟩ = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2$ なので
$b_{2} = (10) - \frac{2}{3} (11) = (\frac{1}{3} - \frac{2}{3}) .$
確認： $⟨ b_{2}, a_{1} ⟩ = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 + (- \frac{2}{3}) \cdot 1 = 0$ で、確かに直交している。

手順 3： $b_{2}$ を正規化する。
$⟨ b_{2}, b_{2} ⟩ = 2 \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
より $∥ b_{2} ∥ = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}$ 。よって
$e_{2} = \frac{3}{6} (\frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = (\frac{1}{6} - \frac{2}{6}) = (\frac{6}{6} - \frac{6}{3}) .$
（確認： $∥ e_{2} ∥^{2} = 2 \cdot \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = 1$ 。）

したがって答えは $(\frac{6}{6}, - \frac{6}{3})$ 。

別解

グラム・シュミットの直交化を行う。

$⟨ a_{1}, a_{1} ⟩ = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$ より、 $e_{1} = \frac{1}{3} (11)$ 。

$⟨ a_{2}, a_{1} ⟩ = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2$ 。

$a_{2}^{'} = a_{2} - \frac{2}{3} a_{1} = (1/3 - 2/3)$ 。

直交性の確認: $⟨ a_{1}, a_{2}^{'} ⟩ = 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot (- \frac{2}{3}) = 0$ 。

$∥ a_{2}^{'} ∥^{2} = 2 \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3}$ より $∥ a_{2}^{'} ∥ = \frac{6}{3}$ 。

$e_{2} = \frac{3}{6} (1/3 - 2/3) = (1/ 6 - 2/ 6) = (6 /6 - 6 /3)$ 。

検算: $⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ = 2 \cdot \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = 1$ 。

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